Primitives et équations différentielles : exercices de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Vérifier une primitive ★★★

Montre que \(F(x) = x^3 - 4x + 1\) est une primitive de \(f(x) = 3x^2 - 4\) sur \(\mathbb{R}\).

2 Primitives d’un polynôme ★★★

Donne toutes les primitives sur \(\mathbb{R}\) de \(f(x) = 6x^2 - 5x + 2\).

3 Avec un inverse ★★★

Donne une primitive de \(f(x) = \dfrac{3}{x^2} + 5\) sur \(]0\,;+\infty[\).

4 Exponentielle et sinus ★★★

Donne toutes les primitives sur \(\mathbb{R}\) de \(f(x) = 5e^{x} + 3\sin x\).

5 Résoudre y’ = 3y ★★★

Donne toutes les solutions sur \(\mathbb{R}\) de l’équation différentielle \(y^{\prime} = 3y\).

6 Une condition initiale ★★★

Résous \(y^{\prime} = -2y\) avec \(y(0) = 5\).

7 Avec un terme constant ★★★

Résous \(y^{\prime} = 2y + 6\), puis détermine la solution qui vaut \(1\) en \(0\).

8 Reconnaître u’uⁿ ★★★

Donne une primitive de \(f(x) = (2x + 1)(x^2 + x)^3\) sur \(\mathbb{R}\).

9 Un quotient ★★★

Donne une primitive de \(f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}\) sur \(\mathbb{R}\).

10 Fonctions de la forme f(ax + b) ★★★

Donne une primitive de chacune des fonctions :

1. \(f(x) = e^{3x - 1}\) sur \(\mathbb{R}\) ;
2. \(g(x) = \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)\) sur \(\mathbb{R}\) ;
3. \(h(x) = \dfrac{1}{(2x + 1)^2}\) sur \(\left]-\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[\).

11 Primitive et condition ★★★

Détermine la primitive \(F\) de \(f(x) = 2xe^{x^2}\) sur \(\mathbb{R}\) telle que \(F(0) = 3\).

12 Équation avec condition ★★★

Résous \(y^{\prime} = -0{,}4\,y + 2\) avec \(y(0) = 1\). Que devient \(y(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) ?

13 Le café qui refroidit ★★★

Un café à \(90\) °C est posé dans une pièce à \(20\) °C. Sa température \(T(t)\), en °C, au bout de \(t\) minutes vérifie \(T^{\prime} = -0{,}1\,(T - 20)\).

1. Détermine \(T(t)\).
2. Au bout de combien de temps le café atteint-il \(50\) °C ? Arrondis à la seconde la plus proche.

14 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

1. Les fonctions \(\ln(x^2 + 1)\) et \(\ln(x^2 + 1) + 5\) sont deux primitives de \(\dfrac{2x}{x^2 + 1}\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Une primitive de \(e^{2x}\) est \(2e^{2x}\).
3. Toute solution de \(y^{\prime} = -3y\) tend vers \(0\) en \(+\infty\).
4. Il existe une solution non nulle de \(y^{\prime} = y\) qui s’annule en un point.

15 Un logarithme de logarithme ★★★

Sur \(]1\,;+\infty[\), on pose \(f(x) = \dfrac{1}{x\ln x}\). Détermine la primitive \(F\) de \(f\) telle que \(F(e) = 2\).

16 Une racine au dénominateur ★★★

Donne une primitive de \(f(x) = \dfrac{3x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) sur \(\mathbb{R}\), puis vérifie-la en la dérivant.

17 Produit sinus et cosinus ★★★

Détermine la primitive de \(f(x) = \sin x\cos^2 x\) sur \(\mathbb{R}\) qui s’annule en \(0\).

18 Étude d’une solution ★★★

On considère l’équation \(y^{\prime} = 2y - 8\) et sa solution \(f\) telle que \(f(0) = 7\).

1. Détermine \(f(x)\).
2. Étudie le sens de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
3. Détermine les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\), et interprète graphiquement la limite en \(-\infty\).

19 Des bactéries prélevées ★★★

Une culture contient \(800\) milliers de bactéries à \(t = 0\) (en heures). Elles se multiplient au rythme de \(30\) % par heure, mais on prélève chaque heure l’équivalent de \(150\) milliers. La population \(P(t)\), en milliers, vérifie \(P^{\prime} = 0{,}3\,P - 150\).

1. Détermine \(P(t)\).
2. La population augmente-t-elle ?
3. Au bout de combien d’heures dépasse-t-elle \(2\,000\) milliers ? Arrondis au centième.

20 Un médicament en perfusion ★★★

Un patient reçoit une perfusion. La concentration \(C(t)\) du médicament dans le sang (en mg/L), \(t\) heures après le début, vérifie \(C^{\prime} = -0{,}25\,C + 3\) avec \(C(0) = 0\).

1. Détermine \(C(t)\).
2. Vers quelle valeur tend la concentration ?
3. Au bout de combien d’heures atteint-elle \(9\) mg/L ? Arrondis au centième.

21 De la vitesse à la position ★★★

Un mobile se déplace sur une droite. Sa vitesse (en m/s) à l’instant \(t\) (en s) est \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\), et sa position initiale est \(x(0) = 2\) m.

1. Détermine la position \(x(t)\).
2. Calcule \(x(1)\) et \(x(3)\).
3. Résous \(v(t) = 0\) et explique le lien avec les positions trouvées.

22 Demi-vie d’un échantillon ★★★

La masse \(N(t)\), en mg, d’un isotope vérifie \(N^{\prime} = -\lambda N\) et \(N(0) = 800\). Sa demi-vie est \(12\) heures.

1. Exprime \(\lambda\) puis \(N(t)\).
2. Montre que \(N(t) = 800 \times 2^{-t/12}\).
3. Calcule la masse restante après \(30\) h (arrondi au dixième de mg), et la durée pour passer sous \(100\) mg.