Que devient une valeur quand on la pousse très loin, ou qu’on s’approche d’un point interdit ? Une tasse de thé finit par atteindre la température de la pièce, une population de poissons plafonne, un taux de remplissage ne dépasse jamais 100 %. Les limites de fonctions donnent un langage précis pour décrire ces comportements, et elles te permettent de repérer les asymptotes d’une courbe. Dans ce chapitre, tu apprends à lire une limite, à la calculer et à lever les cas difficiles.
1. Limite d’une fonction en l’infini
On dit que \(f\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) si tout intervalle de la forme \(]A\,;+\infty[\) contient toutes les valeurs \(f(x)\) dès que \(x\) est assez grand. On écrit \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty\).
On dit que \(f\) tend vers le réel \(\ell\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) si tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient toutes les valeurs \(f(x)\) dès que \(x\) est assez grand. On écrit \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell\).
Les définitions en \(-\infty\) sont analogues, avec \(x\) « assez négatif ». Une fonction n’a pas toujours de limite : \(\cos x\) oscille sans jamais se stabiliser quand \(x\to+\infty\).
Pour tout entier \(n\geqslant 1\) :
- \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^n = +\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x} = +\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} e^{x} = +\infty\) ;
- \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^n} = 0\), \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x}} = 0\), \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty} e^{x} = 0\) ;
- \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty} x^n = +\infty\) si \(n\) est pair et \(-\infty\) si \(n\) est impair.
Calcule \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{5x^2-3x+1}{2x^2+x-7}\).
Le numérateur et le dénominateur tendent vers \(+\infty\) : on factorise le terme dominant. Pour \(x\neq 0\), \(\dfrac{5x^2-3x+1}{2x^2+x-7} = \dfrac{x^2\left(5-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(2+\frac{1}{x}-\frac{7}{x^2}\right)} = \dfrac{5-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{1}{x}-\frac{7}{x^2}}\).
Comme \(\frac{1}{x}\) et \(\frac{1}{x^2}\) tendent vers \(0\), le quotient tend vers \(\dfrac{5}{2}\).
2. Limite en un point
Quand \(x\) s’approche d’un réel \(a\), on distingue l’approche par la gauche (\(x
\(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{x} = +\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to0^-}\dfrac{1}{x} = -\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1}{x^2} = +\infty\). Plus généralement, pour une puissance paire, la limite en \(0\) est \(+\infty\) des deux côtés ; pour une puissance impaire, elle change de signe selon le côté.
Pour une fonction construite avec des opérations usuelles (polynôme, fraction, racine, exponentielle) et définie en \(a\), la limite en \(a\) est tout simplement la valeur \(f(a)\). Le problème apparaît quand le dénominateur s’annule.
Étudie \(f(x)=\dfrac{x+1}{x-3}\) en \(3\).
Le numérateur tend vers \(4\), strictement positif. Pour \(x\to3^+\), \(x-3\) tend vers \(0\) par valeurs positives, donc \(\displaystyle\lim_{x\to3^+}f(x)=+\infty\). Pour \(x\to3^-\), \(x-3\) tend vers \(0\) par valeurs négatives, donc \(\displaystyle\lim_{x\to3^-}f(x)=-\infty\). La fonction n’a pas de limite en \(3\).
3. Asymptotes horizontales et verticales
• Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=\ell\) (ou en \(-\infty\)), la droite d’équation \(y=\ell\) est une asymptote horizontale à la courbe.
• Si \(\displaystyle\lim_{x\to a^+} f(x)=\pm\infty\) ou \(\displaystyle\lim_{x\to a^-} f(x)=\pm\infty\), la droite d’équation \(x=a\) est une asymptote verticale.
Sur la figure, la fonction \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\) s’écrit aussi \(2+\dfrac{3}{x-1}\) : elle tend vers \(2\) en \(\pm\infty\) (asymptote \(y=2\)) et explose près de \(1\) (asymptote \(x=1\)).
4. Opérations sur les limites
Pour trouver la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient, on combine les limites de chaque morceau. Dans les tableaux, \(\ell\) et \(\ell'\) sont des réels et « FI » signifie forme indéterminée.
| \(\lim f\) | \(\ell\) | \(\ell\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\lim g\) | \(\ell'\) | \(\pm\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) |
| \(\lim (f+g)\) | \(\ell+\ell'\) | \(\pm\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | FI |
| \(\lim f\) | \(\ell\neq0\) | \(0\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\lim g\) | \(\pm\infty\) | \(\pm\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) |
| \(\lim (f\times g)\) | \(\pm\infty\) (règle des signes) | FI | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
Pour un quotient \(\dfrac{f}{g}\) :
- si \(\lim g=\ell'\neq0\), la limite est \(\dfrac{\lim f}{\ell'}\) ;
- si \(\lim f=\ell\) et \(\lim g=\pm\infty\), la limite est \(0\) ;
- si \(\lim f=\ell\neq 0\) et \(\lim g=0\), la limite est infinie, son signe se déduit du signe de \(g\) près du point ;
- les cas \(\dfrac{\infty}{\infty}\) et \(\dfrac{0}{0}\) sont des formes indéterminées.
Écrire « \(\frac{4}{0}=+\infty\) » est faux : il faut préciser si le dénominateur tend vers \(0\) par valeurs positives (noté \(0^+\)) ou négatives (\(0^-\)). Étudie son signe avant de conclure.
5. Formes indéterminées
Les quatre formes à connaître sont \(\ \infty-\infty\), \(\ 0\times\infty\), \(\ \dfrac{\infty}{\infty}\) et \(\ \dfrac{0}{0}\). Dans ces cas, les règles ne permettent pas de conclure : la limite peut valoir n’importe quoi, il faut transformer l’expression.
- Pour un polynôme ou une fraction rationnelle en \(\pm\infty\) : factoriser le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
- Pour \(\frac{0}{0}\) avec des polynômes : factoriser et simplifier le facteur qui s’annule.
- Pour une différence de racines : multiplier et diviser par la quantité conjuguée.
- Pour mélanger \(x\), \(\ln x\) et \(e^x\) : utiliser les croissances comparées.
Calcule \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)\) : c’est une forme \(\infty-\infty\).
On multiplie par la quantité conjuguée : \(\sqrt{x^2+4x}-x = \dfrac{(x^2+4x)-x^2}{\sqrt{x^2+4x}+x} = \dfrac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}\).
Pour \(x>0\), on divise par \(x\) : \(\dfrac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1}\), qui tend vers \(\dfrac{4}{1+1}=2\).
6. Croissances comparées
Pour tout entier \(n\geqslant1\) :
- \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^n}=+\infty\), c’est-à-dire \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^n e^{-x}=0\) ;
- \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty} x^n e^{x}=0\) ;
- \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^n}=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0^+} x^n\ln x=0\).
En un mot : l’exponentielle écrase les puissances, et les puissances écrasent le logarithme.
Calcule \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x^2-3x)e^{-x}\).
On développe : \((x^2-3x)e^{-x}=x^2e^{-x}-3\,x\,e^{-x}\). Par croissances comparées, \(x^2e^{-x}\to0\) et \(x\,e^{-x}\to0\). La limite vaut donc \(0\).
7. Théorèmes de comparaison
• Si \(f(x)\geqslant g(x)\) pour \(x\) assez grand et \(\lim g=+\infty\), alors \(\lim f=+\infty\). Si \(f(x)\leqslant g(x)\) et \(\lim g=-\infty\), alors \(\lim f=-\infty\).
• Théorème des gendarmes : si \(g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)\) pour \(x\) assez grand et si \(\lim g=\lim h=\ell\), alors \(\lim f=\ell\).
Montre que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x+\sin x)=+\infty\), puis que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0\).
Pour tout \(x\), \(\sin x\geqslant-1\), donc \(x+\sin x\geqslant x-1\). Or \(x-1\to+\infty\) : par comparaison, \(x+\sin x\to+\infty\).
Pour \(x>0\), \(-1\leqslant\sin x\leqslant1\) donne \(-\dfrac{1}{x}\leqslant\dfrac{\sin x}{x}\leqslant\dfrac{1}{x}\). Les deux bornes tendent vers \(0\) : d’après le théorème des gendarmes, \(\dfrac{\sin x}{x}\to0\).
8. Limite d’une composée
Soit \(a\), \(b\) et \(c\) des éléments de \(\mathbb{R}\) ou égaux à \(\pm\infty\). Si \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b\) et \(\displaystyle\lim_{y\to b}g(y)=c\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to a}g\big(f(x)\big)=c\).
- Repère la fonction « intérieure » \(f\) et la fonction « extérieure » \(g\).
- Calcule la limite \(b\) de \(f\).
- Calcule la limite de \(g\) en \(b\) : c’est la réponse.
Calcule \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{-1/x}\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\dfrac{2x+1}{x}}\).
Pour la première, \(-\frac{1}{x}\to0\) et \(e^{y}\to e^0=1\) quand \(y\to0\), donc la limite vaut \(1\). Pour la seconde, \(\dfrac{2x+1}{x}=2+\dfrac{1}{x}\to2\), puis \(\sqrt{y}\to\sqrt2\) en \(2\) : la limite vaut \(\sqrt{2}\).
Sur ma planète, on dit qu’une limite est une promesse : « Si tu t’approches assez, je me rapproche autant que tu veux. » Avant de calculer, demande-toi toujours vers quoi tend chaque morceau, et si le signe d’un zéro compte !
À retenir
- \(\lim f=\ell\) en \(\pm\infty\) donne l’asymptote horizontale \(y=\ell\) ; une limite infinie en \(a\) donne l’asymptote verticale \(x=a\).
- En un point où le dénominateur s’annule, étudie la limite à gauche et à droite en précisant le signe de \(0^+\) ou \(0^-\).
- Les quatre formes indéterminées sont \(\infty-\infty\), \(0\times\infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\) et \(\frac{0}{0}\) : on les lève en factorisant, en simplifiant ou avec la quantité conjuguée.
- Croissances comparées : \(e^x\) l’emporte sur \(x^n\), qui l’emporte sur \(\ln x\).
- Comparaison : minorer par une fonction qui tend vers \(+\infty\), ou encadrer avec les gendarmes.
- Composée : on enchaîne les limites, de l’intérieur vers l’extérieur.
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