Calcul intégral : exercices de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Aires simples ★★★

Sans chercher de primitive, calcule avec une aire de rectangle ou de triangle : \(\displaystyle\int_1^5 3\,\mathrm{d}x\), \(\displaystyle\int_0^4 x\,\mathrm{d}x\) et \(\displaystyle\int_{-2}^{2} x\,\mathrm{d}x\).

2 Primitives usuelles ★★★

Donne une primitive de chaque fonction : \(4x^3\) ; \(5\) ; \(\dfrac{1}{x^2}\) sur \(]0\,;+\infty[\) ; \(\mathrm{e}^{3x}\) ; \(\cos(2x)\).

3 Trois intégrales de polynômes ★★★

Calcule \(A = \displaystyle\int_0^2 3x^2\,\mathrm{d}x\), \(B = \displaystyle\int_1^4 (2x - 3)\,\mathrm{d}x\) et \(C = \displaystyle\int_0^1 x^3\,\mathrm{d}x\).

4 Inverse, exponentielle ★★★

Calcule \(\displaystyle\int_1^2 \dfrac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x\), \(\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x\) et \(\displaystyle\int_0^{\ln 2} \mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x\).

5 Chasles à compléter ★★★

On sait que \(\int_1^4 f(x)\,\mathrm{d}x = 7\) et \(\int_4^6 f(x)\,\mathrm{d}x = -2\). Calcule \(\int_1^6 f(x)\,\mathrm{d}x\), \(\int_6^1 f(x)\,\mathrm{d}x\) et \(\int_4^1 f(x)\,\mathrm{d}x\).

6 Linéarité ★★★

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \([0\,;\,1]\) avec \(\int_0^1 f = 2\) et \(\int_0^1 g = 5\). Calcule \(\int_0^1 (f+g)\), \(\int_0^1 4f\) et \(\int_0^1 (3f - g)\).

7 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie.

1. Si \(f\) est positive sur \([a\,;\,b]\) (avec \(a \leqslant b\)), alors \(\int_a^b f \geqslant 0\).
2. \(\int_0^2 (x - 1)\,\mathrm{d}x = 0\), donc l’aire entre la courbe et l’axe des abscisses est nulle.
3. \(\int_2^0 x\,\mathrm{d}x = 2\).

8 Trigonométrie et exponentielle ★★★

Calcule \(A = \displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,\mathrm{d}x\), \(B = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos(2x)\,\mathrm{d}x\) et \(C = \displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x\).

9 Reconnaître une dérivée composée ★★★

Calcule \(\displaystyle\int_0^1 2x(x^2 + 1)^3\,\mathrm{d}x\) puis \(\displaystyle\int_0^1 \dfrac{x}{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x\).

10 Une serre à rénover ★★★

Dans un repère, une toiture a pour profil la courbe de \(f(x) = x^2 + 1\) pour \(x\) entre \(0\) et \(3\). L’unité d’aire est celle d’un rectangle de \(2\) m sur \(1{,}5\) m. Calcule l’aire du domaine sous la courbe en u.a., puis en m².

11 Aire sous l’axe ★★★

Soit \(f(x) = x^2 - 4\). Calcule \(\int_{-2}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x\), puis l’aire du domaine délimité par la courbe de \(f\) et l’axe des abscisses entre \(-2\) et \(2\).

12 Vitesse moyenne ★★★

Un drone a une vitesse \(v(t) = 3t^2 + 2\) (en m/s) pour \(t\) entre \(1\) et \(3\) secondes. Calcule sa vitesse moyenne sur cet intervalle et la distance parcourue.

13 Encadrer sans calculer ★★★

On pose \(J = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^3}{1 + x}\,\mathrm{d}x\). Montre que \(0 \leqslant J \leqslant \dfrac{1}{4}\).

14 Première intégration par parties ★★★

Calcule \(K = \displaystyle\int_0^1 (x + 1)\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x\) par intégration par parties.

15 Droite et parabole ★★★

Soient \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = 2x\). Étudie leur position relative sur \([0\,;\,2]\) puis calcule l’aire comprise entre leurs courbes sur cet intervalle.

16 Logarithme par parties ★★★

Calcule \(L = \displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} x\ln x\,\mathrm{d}x\).

17 Deux intégrations par parties ★★★

Calcule \(M = \displaystyle\int_0^1 x^2\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x\) en intégrant deux fois par parties.

18 Une suite d’intégrales ★★★

Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x\).

1. Calcule \(I_0\).
2. Par une intégration par parties, montre que \(I_{n+1} = \mathrm{e} - (n+1)\,I_n\).
3. Déduis-en \(I_1\), \(I_2\) et \(I_3\).
4. Justifie que \(I_n \geqslant 0\) pour tout \(n\).

19 Courbes qui se croisent ★★★

Soient \(f(x) = x^3\) et \(g(x) = x\). Calcule l’aire totale du domaine compris entre leurs courbes sur \([-1\,;\,1]\).

20 Concentration moyenne ★★★

La concentration d’un médicament dans le sang est \(C(t) = 4\,\mathrm{e}^{-t/2}\) (en mg/L) pour \(t\) en heures. Calcule sa valeur moyenne sur les deux premières heures, au centième près.

21 Une primitive définie par une intégrale ★★★

Pour \(x > 0\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_1^x \ln t\,\mathrm{d}t\).

1. Que vaut \(F(1)\) ? Quelle est la dérivée de \(F\) ?
2. Calcule \(F(x)\) par parties.
3. Vérifie le résultat en dérivant.