1 Une convergence uniforme sur R / 4 pts
Soit \(f_n(x) = x\,e^{-n x^2}\) pour \(x \in \mathbb{R}\).
- Déterminer la limite simple \(f\). (1 pt)
- Étudier les variations de \(f_n\) sur \([0,+\infty[\) et calculer \(\|f_n\|_\infty\). (2 pts)
- La convergence est-elle uniforme sur \(\mathbb{R}\) ? (1 pt)
2 Limite discontinue / 4 pts
Soit \(f_n(x) = \dfrac{1}{1 + x^n}\) sur \([0,2]\).
- Déterminer la limite simple. (1 pt)
- La convergence est-elle uniforme sur \([0,2]\) ? (1 pt)
- Montrer qu’elle est uniforme sur \([0,\tfrac12]\). (1 pt)
- Montrer qu’elle est uniforme sur \([\tfrac32,2]\). (1 pt)
3 Intégrer une série / 3 pts
Soit \(S(x) = \displaystyle\sum_{n \geqslant 1}\frac{\cos(nx)}{n^2 + 1}\).
- Montrer la convergence normale sur \(\mathbb{R}\). (1 pt)
- En déduire que \(S\) est continue. (1 pt)
- Calculer \(\displaystyle\int_0^{\pi} S(x)\,dx\). (1 pt)
4 Dériver une série / 3 pts
Soit \(S(x) = \displaystyle\sum_{n \geqslant 1}\frac{\cos(nx)}{n^3}\).
- Montrer que \(\sum u_n'\) converge normalement sur \(\mathbb{R}\). (1 pt)
- En déduire que \(S\) est de classe \(C^1\) et donner \(S'(x)\). (1 pt)
- Calculer \(S'(0)\) et écrire \(S'(\tfrac{\pi}{2})\) sous forme de série numérique. (1 pt)
5 Limite uniforme et intégrale / 3 pts
Soit \(f_n(x) = \dfrac{1}{n}\ln(1 + e^{nx})\) sur \([0,1]\).
- Déterminer la limite simple \(f\). (1 pt)
- Montrer que \(0 \leqslant f_n(x) - f(x) \leqslant \dfrac{\ln 2}{n}\). (1 pt)
- En déduire \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\int_0^1 f_n\). (1 pt)
6 Un polynôme de Bernstein / 3 pts
Pour \(f(x) = x^2\) sur \([0,1]\), on admet que \(B_n(f)(x) = x^2 + \dfrac{x(1-x)}{n}\).
- Calculer directement \(B_2(f)(x)\) par la définition et vérifier la formule. (1 pt)
- Calculer \(\|B_n(f) - f\|_\infty\). (1 pt)
- Quel entier \(n\) suffit pour une erreur uniforme inférieure ou égale à \(10^{-2}\) ? (1 pt)
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