Suites et séries de fonctions : exercices corrigés de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Limites simples ★★★

1. Pour \(x\) fixé, \(\dfrac{x}{n+1} \to 0\) : la limite simple est la fonction nulle.
2. \(g_n(x) = \exp(n\ln(1+x/n))\) et \(\ln(1+x/n) \sim x/n\), donc \(n \ln(1 + x/n) \to x\) : la limite simple est \(x \mapsto e^x\).
3. Si \(x > 0\), \(e^{-nx} \to 0\) ; si \(x = 0\), \(h_n(0) = 1\). La limite est \(0\) sur \(]0,+\infty[\) et \(1\) en \(0\).
4. \(|k_n(x)| \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{n}} \to 0\) : limite nulle.

2 Norme uniforme à calculer ★★★

Sur \([0,3]\), \(|f_n(x)| = \dfrac{x}{n+1}\) est maximale en \(x = 3\) : \(\|f_n\|_\infty = \dfrac{3}{n+1} \to 0\). La convergence est uniforme sur \([0,3]\).

Sur \(\mathbb{R}\), \(\sup |f_n| = +\infty\) (la fonction est affine non nulle) : la convergence n’est pas uniforme sur \(\mathbb{R}\), mais elle l’est sur tout segment.

3 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux : \(x^n\) sur \([0,1]\) est continue, de limite simple discontinue en \(1\).
2. Vrai : si \(\sup_x|f_n(x) - f(x)| \to 0\), alors \(|f_n(x) - f(x)| \to 0\) pour chaque \(x\).
3. Vrai : \(\|R_N\|_\infty \leqslant \sum_{n>N}\|u_n\|_\infty\), reste d’une série convergente, qui tend vers \(0\).

4 Normale ou pas ? ★★★

1. \(\|u_n\|_\infty = \dfrac{1}{n^2}\) (atteinte en \(x = 0\)) et \(\sum \dfrac{1}{n^2}\) converge : convergence normale sur \(\mathbb{R}\).
2. \(\|u_n\|_\infty = \dfrac{1}{n}\) (atteinte en \(x = \dfrac{\pi}{2n}\)) et \(\sum \dfrac{1}{n}\) diverge : pas de convergence normale sur \(\mathbb{R}\).

5 Une série géométrique ★★★

Sur \([-\tfrac12,\tfrac12]\), \(\|u_n\|_\infty = (\tfrac12)^n\) et \(\sum (\tfrac12)^n\) converge : la convergence est normale. La somme vaut \(\dfrac{1}{1-x}\).

En \(x = \tfrac13\) : \(\dfrac{1}{1 - 1/3} = \dfrac32\). En \(x = -\tfrac12\) : \(\dfrac{1}{1 + 1/2} = \dfrac23\).

6 Combien de termes ? ★★★

Sur \([0,\tfrac12]\), \(x^n\) est croissante : \(\|f_n\|_\infty = \left(\tfrac12\right)^n = 2^{-n}\).

On veut \(2^{-n} < 10^{-3}\), soit \(2^n > 1000\). Comme \(2^9 = 512\) et \(2^{10} = 1024\), le plus petit entier est \(n = 10\).

7 Intégrale et limite ★★★

\(\displaystyle\int_0^1 x^n\,dx = \dfrac{1}{n+1} \to 0\). La limite simple vaut \(0\) sauf en \(1\) : son intégrale sur \([0,1]\) est \(0\). Les deux résultats coïncident.

Remarque : la convergence n’est pas uniforme, donc le théorème ne s’applique pas, mais l’égalité reste vraie ici. Le théorème donne une condition suffisante, pas nécessaire.

8 Un supremum à étudier ★★★

Pour \(x\) fixé, \(f_n(x) \to 0\). On dérive : \(f_n'(x) = \dfrac{n - x^2}{(n + x^2)^2}\), nulle en \(x = \pm\sqrt{n}\). La fonction est impaire, croissante sur \([0,\sqrt{n}]\) puis décroissante, de limite \(0\) en \(+\infty\).

Donc \(\|f_n\|_\infty = f_n(\sqrt{n}) = \dfrac{\sqrt{n}}{2n} = \dfrac{1}{2\sqrt{n}} \to 0\) : convergence uniforme sur \(\mathbb{R}\). Par exemple, pour \(n = 4\), le maximum est \(\tfrac14\).

9 Une bosse qui se rétrécit ★★★

1. En \(x = 0\), \(f_n(0) = 0\) ; pour \(x > 0\), \(f_n(x) \sim \dfrac{1}{n x} \to 0\). Limite : la fonction nulle.
2. \(f_n(1/n) = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac12\) pour tout \(n\). Donc \(\|f_n\|_\infty \geqslant \tfrac12\) : la convergence n’est pas uniforme sur \([0,+\infty[\).
3. Pour \(x \geqslant a\), \(0 \leqslant f_n(x) \leqslant \dfrac{n x}{n^2 x^2} = \dfrac{1}{n x} \leqslant \dfrac{1}{n a}\), indépendant de \(x\) et de limite \(0\) : convergence uniforme sur \([a,+\infty[\).

10 Le produit x puissance n par 1 moins x ★★★

Limite simple : \(0\) (pour \(x < 1\), \(x^n \to 0\) ; en \(1\), \(f_n(1) = 0\)).

\(f_n'(x) = x^{n-1}\big(n - (n+1)x\big)\), nulle en \(x_n = \dfrac{n}{n+1}\). Le maximum est \(f_n(x_n) = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n \dfrac{1}{n+1} \leqslant \dfrac{1}{n+1} \to 0\).

La convergence est donc uniforme sur \([0,1]\).

11 Une limite qui casse ★★★

1. Si \(0 \leqslant x < 1\), \(x^n \to 0\) donc \(f_n(x) \to 0\) ; si \(x = 1\), \(f_n(1) = \tfrac12\). La limite est \(0\) sur \([0,1[\) et \(\tfrac12\) en \(1\).
2. Les \(f_n\) sont continues et \(f\) ne l’est pas en \(1\) : la convergence ne peut pas être uniforme sur \([0,1]\).
3. Sur \([0,\tfrac23]\), \(0 \leqslant f_n(x) \leqslant x^n \leqslant (\tfrac23)^n \to 0\) : convergence uniforme.

12 Un cousin de la somme de Bâle ★★★

1. \(\|u_n\|_\infty = \dfrac{1}{n^2}\), série convergente : convergence normale, donc uniforme sur \([-1,1]\). Les \(u_n\) étant continues, \(S\) est continue.
2. \(S(1) = \dfrac{\pi^2}{6}\).
3. \(S(1) + S(-1) = \sum \dfrac{1 + (-1)^n}{n^2} = 2\sum_{m \geqslant 1}\dfrac{1}{(2m)^2} = \dfrac12\cdot\dfrac{\pi^2}{6} = \dfrac{\pi^2}{12}\). Donc \(S(-1) = \dfrac{\pi^2}{12} - \dfrac{\pi^2}{6} = -\dfrac{\pi^2}{12}\).

13 Intégrer terme à terme ★★★

Sur \([0,\tfrac12]\), \(\|x^n\|_\infty = 2^{-n}\) : la série géométrique converge normalement, donc uniformément, vers \(\dfrac{1}{1-x}\). Les \(x^n\) sont continues, donc on peut intégrer terme à terme sur le segment.

\(\displaystyle\int_0^{1/2}\frac{dx}{1-x} = \big[-\ln(1-x)\big]_0^{1/2} = \ln 2\) et \(\displaystyle\int_0^{1/2}x^n\,dx = \frac{1}{(n+1)2^{n+1}}\). Avec \(k = n+1\) : \(\displaystyle\sum_{k \geqslant 1}\frac{1}{k\,2^k} = \ln 2\).

14 Racine régularisée ★★★

1. \(x^2 + 1/n^2 > 0\), donc \(f_n\) est \(C^1\) et \(f_n'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1/n^2}}\).
2. \(f_n(x) - |x| = \dfrac{1/n^2}{f_n(x) + |x|} \geqslant 0\) et, comme \(f_n(x) \geqslant \dfrac1n\), cette quantité est \(\leqslant \dfrac{1/n^2}{1/n} = \dfrac1n\). Donc \(\|f_n - |x|\|_\infty \leqslant \dfrac1n \to 0\) : limite uniforme \(x \mapsto |x|\).
3. \(|x|\) n’est pas dérivable en \(0\) alors que les \(f_n\) sont \(C^1\). C’est que \((f_n')\) ne converge pas uniformément au voisinage de \(0\) : elle converge vers le signe de \(x\) (et vers \(0\) en \(0\)), qui est discontinu.

15 Une intégrale qui s’échappe ★★★

1. En \(0\), \(f_n(0) = 0\) ; pour \(x > 0\), \(n^2 x e^{-nx} \to 0\) par croissances comparées. Limite simple : \(0\).
2. Une primitive est \(F(x) = -n x e^{-nx} - e^{-nx}\) (on vérifie : \(F'(x) = -ne^{-nx} + n^2xe^{-nx} + ne^{-nx} = n^2 x e^{-nx}\)). Donc \(\displaystyle\int_0^1 f_n = F(1) - F(0) = -(n+1)e^{-n} + 1 \to 1\).
3. \(f_n'(x) = n^2 e^{-nx}(1 - nx)\), nulle en \(x = 1/n\) : \(\|f_n\|_\infty = f_n(1/n) = \dfrac{n}{e} \to +\infty\). La convergence n’est pas uniforme ; et \(\lim\int f_n = 1 \neq 0 = \int \lim f_n\), ce qui confirme que l’interversion échoue sans uniformité.

16 Une série trigonométrique de classe C1 ★★★

1. Chaque \(u_n(x) = \dfrac{\sin(nx)}{n^3}\) est \(C^1\), \(\|u_n\|_\infty = \dfrac{1}{n^3}\) et \(\|u_n'\|_\infty = \dfrac{1}{n^2}\) (avec \(u_n'(x) = \dfrac{\cos(nx)}{n^2}\)). Les deux séries convergent normalement sur \(\mathbb{R}\). Par le théorème de dérivation, \(S\) est \(C^1\) et \(S'(x) = \displaystyle\sum_{n \geqslant 1}\frac{\cos(nx)}{n^2}\).
2. \(S'(0) = \sum \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}\).
3. \(S'(\pi) = \sum \dfrac{(-1)^n}{n^2} = S(-1)\) de l’exercice « Un cousin de la somme de Bâle », soit \(-\dfrac{\pi^2}{12}\).

17 Une somme qui explose en zéro ★★★

1. Pour \(x \geqslant a\), \(0 < \dfrac{e^{-nx}}{n} \leqslant e^{-na}\), terme d’une série géométrique convergente : convergence normale sur \([a,+\infty[\). Tout point de \(]0,+\infty[\) est dans un tel intervalle, d’où la continuité de \(S\).
2. \(\sup_{x>0}\dfrac{e^{-nx}}{n} = \dfrac1n\) (limite en \(0^+\)) et \(\sum \dfrac1n\) diverge : pas de convergence normale sur \(]0,+\infty[\).
3. \(u_n'(x) = -e^{-nx}\), avec \(\|u_n'\|_{\infty,[a,+\infty[} \leqslant e^{-na}\) : convergence normale sur \([a,+\infty[\). Donc \(S\) est \(C^1\) et \(S'(x) = -\sum_{n \geqslant 1} e^{-nx} = -\dfrac{e^{-x}}{1 - e^{-x}} = -\dfrac{1}{e^x - 1}\).
4. La fonction \(x \mapsto -\ln(1 - e^{-x})\) a pour dérivée \(-\dfrac{e^{-x}}{1 - e^{-x}}\), la même que \(S\) : les deux fonctions diffèrent d’une constante. Quand \(x \to +\infty\), \(S(x) \leqslant \sum e^{-nx} \to 0\) et \(\ln(1 - e^{-x}) \to 0\), donc la constante est nulle. Ainsi \(S(\ln 2) = -\ln\tfrac12 = \ln 2\).

18 Weierstrass et les moments ★★★

Étape 1. Par linéarité, \(\int_0^1 f(t)P(t)\,dt = 0\) pour tout polynôme \(P\).

Étape 2. D’après Weierstrass, il existe une suite de polynômes \((P_k)\) qui converge uniformément vers \(f\) sur \([0,1]\).

Étape 3. \(\left|\int_0^1 f^2\right| = \left|\int_0^1 f(f - P_k)\right| \leqslant \|f\|_\infty\,\|f - P_k\|_\infty \to 0\). Donc \(\int_0^1 f^2 = 0\).

Étape 4. \(f^2\) est continue, positive, d’intégrale nulle : \(f^2 = 0\) sur \([0,1]\), donc \(f = 0\).

19 Polynômes de Bernstein ★★★

1. \(f(0) = f(1) = \tfrac12\), \(f(\tfrac12) = 0\) : \(B_2(f)(x) = \tfrac12(1-x)^2 + \tfrac12x^2 = x^2 - x + \tfrac12\).
2. Sur \([0,\tfrac12]\), \(f(x) = \tfrac12 - x\) et \(B_2(f)(x) - f(x) = x^2\) ; sur \([\tfrac12,1]\), par symétrie, l’écart est \((1-x)^2\). Le maximum est \(\tfrac14\), atteint en \(x = \tfrac12\).
3. Avec \(f(0) = f(1) = \tfrac12\), \(f(\tfrac14) = f(\tfrac34) = \tfrac14\), \(f(\tfrac12) = 0\), en \(x = \tfrac12\) : \(B_4 = 2\cdot\tfrac12\cdot\tfrac1{16} + 2\cdot 4\cdot\tfrac14\cdot\tfrac1{16} = \tfrac1{16} + \tfrac18 = \tfrac{3}{16}\). L’écart avec \(f(\tfrac12) = 0\) est \(\tfrac{3}{16} < \tfrac14\) : l’approximation s’améliore avec \(n\).

20 Approcher une racine par des polynômes ★★★

1. \(f_1(x) = \dfrac{x}{2}\) ; \(f_2(x) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{x - x^2/4}{2} = x - \dfrac{x^2}{8}\).
2. L’identité vient de \(\sqrt{x} - f_{n+1} = \sqrt{x} - f_n - \dfrac{x - f_n^2}{2}\) et \(x - f_n^2 = (\sqrt{x} - f_n)(\sqrt{x} + f_n)\). Si \(0 \leqslant f_n \leqslant \sqrt{x} \leqslant 1\), le facteur \(1 - \dfrac{\sqrt{x} + f_n}{2}\) est dans \([0,1]\) donc \(\sqrt{x} - f_{n+1} \geqslant 0\) ; de plus \(f_{n+1} = f_n + \dfrac{x - f_n^2}{2} \geqslant f_n \geqslant 0\).
3. Comme \(f_n \geqslant 0\), le facteur est \(\leqslant 1 - \tfrac{\sqrt{x}}{2}\) ; avec \(\sqrt{x} - f_0 = \sqrt{x}\), on obtient la majoration. Posons \(t = \sqrt{x} \in [0,1]\) : \(t(1 - t/2)^n \leqslant t\,e^{-nt/2} \leqslant \dfrac{2}{en}\) (maximum de \(t e^{-nt/2}\) en \(t = 2/n\)). La suite de polynômes \((f_n)\) converge donc uniformément vers \(\sqrt{x}\) sur \([0,1]\).

21 Une bosse d’aire qui disparaît ★★★

1. En \(0\) et en \(1\), \(f_n = 0\) ; pour \(x \in\,]0,1[\), \(n(1-x)^n \to 0\) (croissances comparées). Limite simple : \(0\).
2. \(f_n'(x) = n(1-x)^{n-1}\big(1 - (n+1)x\big)\), nulle en \(x = \dfrac{1}{n+1}\). Donc \(\|f_n\|_\infty = \dfrac{n}{n+1}\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{n+1} \to e^{-1}\).
3. \(\displaystyle\int_0^1 f_n = \dfrac{n}{(n+1)(n+2)} \to 0 = \int_0^1 \lim f_n\). L’interversion est vraie ici, bien que la convergence ne soit pas uniforme (\(\|f_n\|_\infty \to e^{-1} \neq 0\)).