Réduction des endomorphismes : exercices corrigés de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Spectre d’une matrice triangulaire ★★★

1. \(T\) est triangulaire, donc \(\chi_T(X) = (X-3)(X+2)(X-7)\) et \(\mathrm{Sp}(T) = \{-2, 3, 7\}\) (placés sur la droite graduée ci-dessous).

2. Trois valeurs propres distinctes en dimension \(3\) : \(\chi_T\) est scindé à racines simples, donc \(T\) est diagonalisable.
3. \(\mathrm{tr}(T) = 3 - 2 + 7 = 8\) et \(\det(T) = 3 \times (-2) \times 7 = -42\).

2 Vecteurs propres ou non ? ★★★

1. \(A u_1 = (5, 5) = 5 u_1\) : vecteur propre, valeur propre \(5\). \(A u_2 = (-2, 1) = -u_2\) : vecteur propre, valeur propre \(-1\). \(A u_3 = (9, 8)\) n’est pas colinéaire à \((1, 2)\) : ce n’est pas un vecteur propre.
2. \(u_1\) et \(u_2\) ne sont pas colinéaires, donc forment une base de \(\mathbb{R}^2\). Avec \(P = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\) et \(D = \mathrm{diag}(5, -1)\), on a \(A = P D P^{-1}\). Vérification : \(\mathrm{tr}(A) = 4 = 5 - 1\) et \(\det(A) = -5 = 5 \times (-1)\).

3 Polynôme caractéristique d’ordre 2 ★★★

\(\mathrm{tr}(M) = 8\) et \(\det(M) = 12 + 3 = 15\), donc \(\chi_M(X) = X^2 - 8X + 15 = (X-3)(X-5)\). Valeurs propres : \(3\) et \(5\).

\(M - 3I = \begin{pmatrix}-1 & -3 \\ 1 & 3\end{pmatrix}\) : \(x + 3y = 0\), donc \(E_3 = \mathrm{Vect}((3, -1))\). \(M - 5I = \begin{pmatrix}-3 & -3 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\) : \(x + y = 0\), donc \(E_5 = \mathrm{Vect}((1, -1))\). Contrôle : \(M(3,-1) = (9, -3) = 3(3,-1)\) et \(M(1,-1) = (5, -5) = 5(1,-1)\).

4 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : il existe \(x \neq 0\) avec \(Ax = 0\), donc \(A\) n’est pas injective.
2. Faux : par définition, un vecteur propre est non nul.
3. Vrai : si \(Ax = \lambda x\) avec \(x \neq 0\), alors \(A^2 x = \lambda^2 x\).
4. Faux : \(\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\) a pour polynôme caractéristique \(X^2 + 1\), sans racine réelle.
5. Faux en général : pour \(D = \mathrm{diag}(1, 2)\), \(e_1 + e_2 = (1, 1)\) a pour image \((1, 2)\), non colinéaire. C’est vrai seulement si les deux vecteurs ont la même valeur propre.

5 Une projection ★★★

1. \(P^2 = \begin{pmatrix}2 & -2 \\ 1 & -1\end{pmatrix} = P\).
2. Si \(Px = \lambda x\) avec \(x \neq 0\), alors \(Px = P^2 x = \lambda^2 x\), donc \(\lambda x = \lambda^2 x\) et \(\lambda(\lambda - 1) = 0\).
3. \(E_0 = \ker P\) : \(2x - 2y = 0\), donc \(E_0 = \mathrm{Vect}((1,1))\). \(E_1 = \ker(P - I)\) : \(x - 2y = 0\), donc \(E_1 = \mathrm{Vect}((2,1))\). Les vecteurs \((1,1)\) et \((2,1)\) forment une base (déterminant \(-1\)), donc \(P\) est diagonalisable, semblable à \(\mathrm{diag}(0, 1)\).

6 Une symétrie et ses puissances ★★★

1. \(S^2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I\).
2. \(X^2 - 1\) annule \(S\), donc \(\mathrm{Sp}(S) \subset \{-1, 1\}\). \(E_1 = \ker(S - I)\) : \(2x - 4y = 0\), donc \(E_1 = \mathrm{Vect}((2, 1))\). \(E_{-1} = \ker(S + I)\) : \(4x - 4y = 0\), donc \(E_{-1} = \mathrm{Vect}((1, 1))\).
3. Comme \(S^2 = I\), \(S^{2025} = S^{2 \times 1012} \cdot S = S\) et \(S^{2026} = (S^2)^{1013} = I\).

7 Une matrice de rang 1 ★★★

1. Toutes les lignes sont égales : \(\mathrm{rg}(J) = 1\), donc \(\dim \ker J = 3 - 1 = 2\) par le théorème du rang. Ainsi \(0\) est valeur propre avec \(\dim E_0 = 2\).
2. \(J(1,1,1) = (3,3,3)\) : \(3\) est valeur propre. La trace vaut \(3 = 0 + 0 + 3\), donc \(\chi_J(X) = X^2 (X - 3)\) (racine \(0\) de multiplicité au moins \(2\) et racine \(3\)).
3. \(\dim E_0 = 2 = m_0\) et \(\dim E_3 = 1 = m_3\) : \(J\) est diagonalisable. Base propre : \((1,-1,0)\), \((0,1,-1)\) pour \(E_0\) et \((1,1,1)\) pour \(E_3\).

8 Diagonaliser avec une valeur propre double ★★★

En développant selon la deuxième ligne : \(\chi_A(X) = (X-3)\bigl[(X-3)(X+2) - 0\bigr] = (X-3)^2 (X+2)\).

\(A - 3I = \begin{pmatrix}0 & 5 & -5 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & -5\end{pmatrix}\) : l’équation \(y = z\) donne \(E_3 = \mathrm{Vect}((1,0,0), (0,1,1))\), de dimension \(2 = m_3\). \(A + 2I = \begin{pmatrix}5 & 5 & -5 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 5 & 0\end{pmatrix}\) : \(y = 0\) et \(x = z\), donc \(E_{-2} = \mathrm{Vect}((1,0,1))\).

La somme des dimensions vaut \(3\) : \(A\) est diagonalisable. Avec \(P = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\), on obtient \(P^{-1} A P = \mathrm{diag}(3, 3, -2)\).

9 Une matrice non diagonalisable ★★★

La valeur propre \(1\) est double. \(M - I = \begin{pmatrix}-1 & 2 & 1 \\ -2 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 1\end{pmatrix}\) : la ligne 3 égale la ligne 1, et la ligne 2 n’est pas proportionnelle à la ligne 1, donc \(\mathrm{rg}(M - I) = 2\) et \(\dim E_1 = 3 - 2 = 1 < 2 = m_1\). Ainsi \(M\) n’est pas diagonalisable.

Résolution : de \(-x + 2y + z = 0\) et \(-2x + 2y + 2z = 0\), on tire en retranchant la seconde équation au double de la première : \(2y = 0\), donc \(y = 0\), puis \(z = x\) : \(E_1 = \mathrm{Vect}((1, 0, 1))\). Enfin \(E_3 = \mathrm{Vect}((1,1,1))\) car \(M(1,1,1) = (3,3,3)\). Seulement \(1 + 1 = 2\) vecteurs propres indépendants : pas de base de vecteurs propres.

10 Deux populations de bactéries ★★★

1. \(B = \begin{pmatrix}4 & 2 \\ 1 & 3\end{pmatrix}\), \(\chi_B(X) = X^2 - 7X + 10 = (X-2)(X-5)\). \(E_2 = \mathrm{Vect}((1,-1))\) et \(E_5 = \mathrm{Vect}((2,1))\), donc \(B\) est diagonalisable.
2. On décompose \(X_0 = (3, 0) = 1\cdot(1,-1) + 1\cdot(2,1)\). Donc \(X_n = B^n X_0 = 2^n (1,-1) + 5^n (2,1)\), soit \(a_n = 2^n + 2 \cdot 5^n\) et \(b_n = 5^n - 2^n\). Contrôle : \(a_1 = 12 = 4 \times 3\) et \(b_1 = 3\).
3. \(\dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{2 \cdot 5^n + 2^n}{5^n - 2^n} \to 2\) : la colonie \(A\) devient deux fois plus nombreuse que \(B\).

11 Un paramètre qui change tout ★★★

\(M(a)\) est triangulaire supérieure : \(\chi(X) = (X-1)^2 (X-2)\). La valeur propre \(2\) est simple. Il reste à comparer \(\dim E_1\) et \(2\).

\(M(a) - I = \begin{pmatrix}0 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\). Si \(a \neq 0\), les deux premières lignes non nulles sont indépendantes : rang \(2\) et \(\dim E_1 = 1 < 2\), non diagonalisable. Si \(a = 0\), le rang vaut \(1\) et \(\dim E_1 = 2\), diagonalisable (la matrice est même diagonale). Conclusion : \(M(a)\) est diagonalisable si et seulement si \(a = 0\).

12 Droites stables ★★★

1. Les droites stables sont les droites dirigées par un vecteur propre. \(\chi_B(X) = X^2 - 3X + 2 = (X-1)(X-2)\). \(E_1 = \mathrm{Vect}((1,1))\) car \(B(1,1) = (1,1)\) ; \(E_2 = \mathrm{Vect}((2,1))\) car \(B(2,1) = (4,2)\). Ce sont les deux seules droites stables. Par exemple \(\mathrm{Vect}((1,0))\) ne l’est pas : \(B(1,0) = (3,1)\).
2. \((3,2) = (1,1) + (2,1)\). Donc \(B^n(3,2) = (1,1) + 2^n (2,1) = (1 + 2^{n+1},\; 1 + 2^n)\).

13 Trace, déterminant et valeurs propres ★★★

1. Notons \(\mu\) la troisième racine de \(\chi_A\) (comptée avec multiplicité). La somme \(2 + 3 + \mu = 9\) donne \(\mu = 4\) ; on vérifie \(2 \times 3 \times 4 = 24 = \det(A)\). Les trois valeurs propres \(2, 3, 4\) sont distinctes : \(A\) est diagonalisable.
2. \(\chi_A(X) = (X-2)(X-3)(X-4) = X^3 - 9X^2 + 26X - 24\). Les valeurs propres de \(A^2\) sont \(4, 9, 16\), donc \(\mathrm{tr}(A^2) = 29\). Celles de \(A + I\) sont \(3, 4, 5\), donc \(\det(A + I) = 60\).

14 Un polynôme annulateur ★★★

1. Le polynôme \(X^3 - 3X^2 + 2X = X(X-1)(X-2)\) annule \(A\), donc \(\mathrm{Sp}(A) \subset \{0, 1, 2\}\).
2. Ce polynôme est scindé à racines simples et annule \(A\) : \(A\) est diagonalisable.
3. On a \(A(A^2 - 3A + 2I) = 0\) et \(A\) est inversible : en multipliant par \(A^{-1}\), \(A^2 - 3A + 2I = 0\). Alors \(A(3I - A) = 2I\), donc \(A^{-1} = \dfrac{3I - A}{2}\).

15 Inverse par Cayley-Hamilton ★★★

1. \(1\) est racine : \(1 - 8 + 17 - 10 = 0\). On factorise : \(\chi_A(X) = (X-1)(X^2 - 7X + 10) = (X-1)(X-2)(X-5)\). Trois valeurs propres distinctes en dimension \(3\) : \(A\) est diagonalisable.
2. Par Cayley-Hamilton, \(A^3 - 8A^2 + 17A - 10I = 0\), donc \(A(A^2 - 8A + 17I) = 10I\) et \(A^{-1} = \dfrac{1}{10}(A^2 - 8A + 17I)\). Avec \(A^2 = \begin{pmatrix}1 & -24 & 24 \\ -3 & 1 & 3 \\ -3 & -24 & 28\end{pmatrix}\), on obtient \(A^2 - 8A + 17I = \begin{pmatrix}10 & 8 & -8 \\ 5 & 10 & -5 \\ 5 & 8 & -3\end{pmatrix}\), d’où \(A^{-1} = \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix}10 & 8 & -8 \\ 5 & 10 & -5 \\ 5 & 8 & -3\end{pmatrix}\). (On a \(\det A = 10 \neq 0\).)

16 Noyaux et dimension paire ★★★

1. \(X^3 - X^2 + X - 1 = X^2(X-1) + (X-1) = (X-1)(X^2+1)\). Les polynômes \(X - 1\) et \(X^2 + 1\) sont premiers entre eux : \(X^2 + 1 = (X-1)(X+1) + 2\), donc \(1 = \tfrac{1}{2}\bigl[(X^2+1) - (X-1)(X+1)\bigr]\). Comme \(P(u) = 0\), le lemme des noyaux donne \(E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u^2 + \mathrm{id})\).
2. Posons \(F = \ker(u^2 + \mathrm{id})\), de dimension \(p\), stable par \(u\), et \(v = u_F\). On a \(v^2 = -\mathrm{id}_F\), donc \(\det(v)^2 = \det(-\mathrm{id}_F) = (-1)^p\). Or \(\det(v)^2 \geq 0\) : on doit avoir \((-1)^p = 1\), donc \(p\) est paire.

17 Le commutant d’un endomorphisme ★★★

1. Si \(x \in E_{\lambda_i}\), alors \(A(Bx) = B(Ax) = \lambda_i Bx\), donc \(Bx \in E_{\lambda_i}\).
2. Chaque \(E_{\lambda_i}\) est une droite (trois valeurs propres distinctes en dimension \(3\)), dirigée par \(e_i\). Stable par \(B\), elle vérifie \(B e_i = \mu_i e_i\). Dans la base \((e_1, e_2, e_3)\), \(B\) est diagonale.
3. Par interpolation de Lagrange, il existe \(Q \in \mathbb{R}_2[X]\) avec \(Q(\lambda_i) = \mu_i\). Alors \(Q(A) e_i = \mu_i e_i = B e_i\) pour tout \(i\), donc \(B = Q(A)\). Réciproquement tout \(Q(A)\) commute avec \(A\). Comme \(\mu_A\) est de degré \(3\), la famille \((I, A, A^2)\) est libre : le commutant de \(A\) est de dimension \(3\).

18 Nilpotence et puissances ★★★

1. \(N^2 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\) et \(N^3 = 0\). Si \(Nx = \lambda x\), alors \(0 = N^3 x = \lambda^3 x\), donc \(\lambda = 0\) : \(\mathrm{Sp}(N) = \{0\}\), et \(\chi_N = X^3\).
2. Si \(N\) était diagonalisable, semblable à une diagonale de valeurs propres nulles, elle serait nulle : or \(N \neq 0\). Elle n’est donc pas diagonalisable. Elle est trigonalisable (elle est déjà triangulaire, \(\chi_N\) scindé).
3. \(I\) et \(N\) commutent : \((I + N)^{10} = I + 10N + 45N^2 = \begin{pmatrix}1 & 10 & 55 \\ 0 & 1 & 10 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\) (le terme \(N^3\) et les suivants sont nuls). L’inverse est \((I + N)^{-1} = I - N + N^2 = \begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\), car \((I + N)(I - N + N^2) = I + N^3 = I\).

19 Trigonalisation explicite ★★★

1. \(M - I = \begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 2\end{pmatrix}\) est de rang \(2\) (deux lignes indépendantes), donc \(\dim E_1 = 1 < 2\) : \(M\) n’est pas diagonalisable.
2. Le noyau de \(M - I\) est \(\mathrm{Vect}(v_1)\) avec \(v_1 = (1,1,1)\). On cherche \(v_2\) tel que \((M - I)v_2 = v_1\), c’est-à-dire \(-x + y = 1\) et \(-x - y + 2z = 1\) : on prend \(x = 0\), \(y = 1\), \(z = 1\), soit \(v_2 = (0,1,1)\). Enfin \(M(0,0,1) = (0,0,3)\), donc \(v_3 = (0,0,1)\) est propre pour \(3\). Ainsi \(M v_1 = v_1\), \(M v_2 = v_1 + v_2\), \(M v_3 = 3 v_3\) : la matrice de \(M\) dans \((v_1, v_2, v_3)\) est \(T\). La famille est libre (déterminant \(1\)), avec \(P = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\).

20 Une suite récurrente à racine double ★★★

1. \(\chi_C(X) = X^2 - 4X + 4 = (X-2)^2\). \(C - 2I \neq 0\), donc \(E_2\) est une droite : \(C\) n’est pas diagonalisable.
2. \(N = \begin{pmatrix}-2 & 1 \\ -4 & 2\end{pmatrix}\) et \(N^2 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\). Comme \(2I\) et \(N\) commutent, \(C^n = (2I + N)^n = 2^n I + n 2^{n-1} N\).
3. \(\binom{u_n}{u_{n+1}} = C^n \binom{1}{3}\). La première ligne de \(C^n\) est \((2^n - 2n2^{n-1},\; n 2^{n-1})\), donc \(u_n = 2^n - n 2^n + 3n 2^{n-1} = 2^n + n 2^{n-1} = (n+2)\,2^{n-1}\). Contrôle : \(u_2 = 8 = 4 \times 3 - 4 \times 1\) et \(u_3 = 20 = 4 \times 8 - 4 \times 3\).

21 Matrice par blocs et sous-espace stable ★★★

1. \(u(e_1) = e_1\) et \(u(e_2) = 2e_1 + 3e_2\) sont dans \(F\) : \(F\) est stable, et la matrice de \(u_F\) est \(A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\).
2. \(M\) est triangulaire supérieure par blocs avec \(A\) et \(C = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -2 & 3\end{pmatrix}\). Donc \(\chi_M = \chi_A \chi_C\). \(\chi_A = (X-1)(X-3)\) et \(\chi_C = X^2 - 3X + 2 = (X-1)(X-2)\). Ainsi \(\chi_M = (X-1)^2 (X-2)(X-3)\) et \(\mathrm{Sp}(M) = \{1, 2, 3\}\).
3. Soit \((x,y,z,w) \in E_1\) : \((M - I)X = 0\) donne \(2y + 5z + w = 0\), \(2y + 2w = 0\), \(-z + w = 0\), \(-2z + 2w = 0\). Alors \(z = w\), \(y = -w\), puis \(-2w + 5w + w = 4w = 0\) : \(w = z = y = 0\). Donc \(E_1 = \mathrm{Vect}(e_1)\), de dimension \(1 < 2 = m_1\) : \(M\) n’est pas diagonalisable.