Réduction des endomorphismes : exercices de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Spectre d’une matrice triangulaire ★★★

Soit \(T = \begin{pmatrix}3 & 5 & -1 \\ 0 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 7\end{pmatrix}\).

1. Donner \(\chi_T\) et le spectre de \(T\).
2. \(T\) est-elle diagonalisable ? Justifier.
3. Calculer \(\mathrm{tr}(T)\) et \(\det(T)\) à partir du spectre.

2 Vecteurs propres ou non ? ★★★

Soit \(A = \begin{pmatrix}1 & 4 \\ 2 & 3\end{pmatrix}\), \(u_1 = (1, 1)\), \(u_2 = (2, -1)\) et \(u_3 = (1, 2)\).

1. Lesquels de ces vecteurs sont des vecteurs propres de \(A\) ? Donner la valeur propre associée.
2. En déduire une diagonalisation de \(A\).

3 Polynôme caractéristique d’ordre 2 ★★★

Soit \(M = \begin{pmatrix}2 & -3 \\ 1 & 6\end{pmatrix}\). Calculer \(\chi_M\), déterminer ses valeurs propres puis une base de chaque sous-espace propre.

4 Vrai ou faux ? ★★★

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, avec justification.

1. Si \(0\) est valeur propre de \(A\), alors \(A\) n’est pas inversible.
2. Un vecteur propre peut être le vecteur nul.
3. Si \(\lambda\) est valeur propre de \(A\), alors \(\lambda^2\) est valeur propre de \(A^2\).
4. Toute matrice de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) possède une valeur propre réelle.
5. La somme de deux vecteurs propres est un vecteur propre.

5 Une projection ★★★

Soit \(P = \begin{pmatrix}2 & -2 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\).

1. Vérifier que \(P^2 = P\).
2. En déduire que \(\mathrm{Sp}(P) \subset \{0, 1\}\).
3. Déterminer \(E_0\) et \(E_1\), puis conclure sur la diagonalisabilité.

6 Une symétrie et ses puissances ★★★

Soit \(S = \begin{pmatrix}3 & -4 \\ 2 & -3\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(S^2\).
2. En déduire les valeurs propres possibles, puis les sous-espaces propres.
3. Calculer \(S^{2025}\) et \(S^{2026}\).

7 Une matrice de rang 1 ★★★

Soit \(J\) la matrice de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) dont tous les coefficients valent \(1\).

1. Quel est son rang ? En déduire la dimension de \(E_0\).
2. Montrer que \((1, 1, 1)\) est vecteur propre ; en déduire \(\chi_J\).
3. \(J\) est-elle diagonalisable ?

8 Diagonaliser avec une valeur propre double ★★★

Soit \(A = \begin{pmatrix}3 & 5 & -5 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & -2\end{pmatrix}\). Déterminer \(\chi_A\), les sous-espaces propres, puis une matrice \(P\) inversible telle que \(P^{-1} A P\) soit diagonale.

9 Une matrice non diagonalisable ★★★

Soit \(M = \begin{pmatrix}0 & 2 & 1 \\ -2 & 3 & 2 \\ -1 & 2 & 2\end{pmatrix}\), de polynôme caractéristique \((X-1)^2 (X-3)\). Montrer que \(M\) n’est pas diagonalisable, et déterminer les deux sous-espaces propres.

10 Deux populations de bactéries ★★★

Deux colonies de bactéries \(A\) et \(B\) évoluent chaque heure selon \(a_{n+1} = 4a_n + 2b_n\) et \(b_{n+1} = a_n + 3b_n\), avec \(a_0 = 3\) et \(b_0 = 0\) (en milliers d’individus).

1. Écrire le système sous la forme \(X_{n+1} = B X_n\) et diagonaliser \(B\).
2. Exprimer \(a_n\) et \(b_n\) en fonction de \(n\).
3. Que vaut \(a_n / b_n\) quand \(n\) devient grand ?

11 Un paramètre qui change tout ★★★

Pour \(a \in \mathbb{R}\), soit \(M(a) = \begin{pmatrix}1 & 0 & a \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\). Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice \(M(a)\) est-elle diagonalisable ?

12 Droites stables ★★★

Soit \(B = \begin{pmatrix}3 & -2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\) et \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) associé.

1. Déterminer toutes les droites vectorielles stables par \(u\).
2. Décomposer \((3, 2)\) sur les vecteurs propres, puis calculer \(B^n (3, 2)\).

13 Trace, déterminant et valeurs propres ★★★

Soit \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) avec \(\mathrm{tr}(A) = 9\) et \(\det(A) = 24\), admettant \(2\) et \(3\) pour valeurs propres.

1. Déterminer la troisième valeur propre. \(A\) est-elle diagonalisable ?
2. Écrire \(\chi_A\), puis calculer \(\mathrm{tr}(A^2)\) et \(\det(A + I)\).

14 Un polynôme annulateur ★★★

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) vérifiant \(A^3 - 3A^2 + 2A = 0\).

1. Que peut-on dire du spectre de \(A\) ?
2. Montrer que \(A\) est diagonalisable.
3. On suppose \(A\) inversible. Montrer que \(A^2 - 3A + 2I = 0\) et exprimer \(A^{-1}\) en fonction de \(A\).

15 Inverse par Cayley-Hamilton ★★★

Soit \(A = \begin{pmatrix}1 & -4 & 4 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & -4 & 6\end{pmatrix}\). On admet que \(\chi_A(X) = X^3 - 8X^2 + 17X - 10\).

1. Factoriser \(\chi_A\) et justifier que \(A\) est diagonalisable.
2. Calculer \(A^2\), puis exprimer \(A^{-1}\) comme combinaison de \(A^2\), \(A\) et \(I\). Donner \(A^{-1}\).

16 Noyaux et dimension paire ★★★

Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(u^3 - u^2 + u - \mathrm{id} = 0\).

1. Factoriser \(X^3 - X^2 + X - 1\) et montrer que \(E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u^2 + \mathrm{id})\).
2. Montrer que \(\dim \ker(u^2 + \mathrm{id})\) est paire.

17 Le commutant d’un endomorphisme ★★★

Soit \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) ayant trois valeurs propres distinctes \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\), et \(B\) une matrice qui commute avec \(A\).

1. Montrer que chaque \(E_{\lambda_i}(A)\) est stable par \(B\).
2. En déduire que \(B\) est diagonale dans une base de vecteurs propres de \(A\).
3. Montrer que \(B\) est un polynôme en \(A\) de degré au plus \(2\). Quelle est la dimension de l’ensemble des matrices qui commutent avec \(A\) ?

18 Nilpotence et puissances ★★★

Soit \(N = \begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\).

1. Calculer \(N^2\) et \(N^3\). En déduire le spectre de \(N\).
2. \(N\) est-elle diagonalisable ? Est-elle trigonalisable ?
3. Calculer \((I + N)^{10}\) et \((I + N)^{-1}\).

19 Trigonalisation explicite ★★★

Soit \(M = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 3\end{pmatrix}\), de polynôme caractéristique \((X-1)^2 (X-3)\).

1. Montrer que \(M\) n’est pas diagonalisable.
2. Trouver une base \((v_1, v_2, v_3)\) dans laquelle la matrice de \(M\) est \(T = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}\).

20 Une suite récurrente à racine double ★★★

On définit \(u_0 = 1\), \(u_1 = 3\) et \(u_{n+2} = 4u_{n+1} - 4u_n\). Soit \(C = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -4 & 4\end{pmatrix}\), de sorte que \(\binom{u_{n+1}}{u_{n+2}} = C \binom{u_n}{u_{n+1}}\).

1. Calculer \(\chi_C\). \(C\) est-elle diagonalisable ?
2. Poser \(N = C - 2I\), calculer \(N^2\), et en déduire \(C^n\).
3. Donner \(u_n\) en fonction de \(n\).

21 Matrice par blocs et sous-espace stable ★★★

Soit \(M = \begin{pmatrix}1 & 2 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 3\end{pmatrix}\) et \(u\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^4\) associé. Soit \(F = \mathrm{Vect}(e_1, e_2)\).

1. Montrer que \(F\) est stable par \(u\) et donner la matrice de \(u_F\).
2. Calculer \(\chi_M\) à l’aide des blocs. Quel est le spectre ?
3. Montrer que \(\dim E_1 = 1\) et conclure sur la diagonalisabilité de \(M\).