Diagonaliser, c’est trouver le point de vue depuis lequel un endomorphisme devient transparent : une simple multiplication par un scalaire sur chaque axe. Cette « réduction » permet de calculer des puissances, de résoudre des suites et des systèmes récurrents, et de comprendre en profondeur la structure d’une application linéaire. Quand elle n’est pas possible, on se rabat sur la trigonalisation, sur les polynômes annulateurs ou sur la décomposition en sous-espaces stables. Dans tout le chapitre, \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), \(E\) est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n \geq 1\) et \(u\) un endomorphisme de \(E\).
1. Valeurs propres et vecteurs propres
Un scalaire \(\lambda \in \mathbb{K}\) est une valeur propre de \(u\) s’il existe un vecteur \(x \neq 0\) tel que \(u(x) = \lambda x\). Un tel vecteur \(x\) est un vecteur propre associé à \(\lambda\). L’ensemble des valeurs propres est le spectre de \(u\), noté \(\mathrm{Sp}(u)\).
Un vecteur propre est donc un vecteur non nul dont la direction est conservée par \(u\). Les trois énoncés suivants sont équivalents : \(\lambda\) est valeur propre de \(u\) ; l’endomorphisme \(u - \lambda\,\mathrm{id}\) n’est pas injectif ; \(\det(u - \lambda\,\mathrm{id}) = 0\). Pour une matrice carrée \(A\), on parle de la même façon de valeurs et de vecteurs propres, en identifiant \(A\) à l’endomorphisme \(X \mapsto AX\) de \(\mathbb{K}^n\).
Le vecteur nul n’est jamais un vecteur propre, même s’il vérifie \(u(0) = \lambda \cdot 0\) pour tout \(\lambda\). En revanche, le scalaire \(0\) peut très bien être une valeur propre : c’est le cas exactement quand \(u\) n’est pas injectif, c’est-à-dire quand \(u\) n’est pas bijectif.
Sur ma planète, on dit qu’un vecteur propre est un « axe têtu » : l’endomorphisme peut l’étirer, le comprimer ou le retourner, mais il ne le fait jamais tourner. Cherche d’abord les axes têtus, et le reste de la réduction en découle.
2. Sous-espaces propres
Pour \(\lambda \in \mathrm{Sp}(u)\), le sous-espace propre est \(E_\lambda(u) = \ker(u - \lambda\,\mathrm{id})\). Il contient le vecteur nul et tous les vecteurs propres associés à \(\lambda\).
Des vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes forment une famille libre. Par conséquent, les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe, et \(u\) possède au plus \(n\) valeurs propres.
Preuve de la liberté, par récurrence sur le nombre de vecteurs. Avec un seul vecteur propre (non nul), c’est clair. Supposons la propriété vraie pour \(k - 1\) vecteurs et soit \(\sum_{i=1}^{k} \alpha_i x_i = 0\) avec \(u(x_i) = \lambda_i x_i\). En appliquant \(u\), puis en retranchant \(\lambda_k\) fois la relation initiale, on obtient \(\sum_{i=1}^{k-1} \alpha_i(\lambda_i - \lambda_k) x_i = 0\). L’hypothèse de récurrence et la distinction des valeurs propres donnent \(\alpha_1 = \dots = \alpha_{k-1} = 0\), puis \(\alpha_k x_k = 0\), donc \(\alpha_k = 0\).
La figure illustre l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) associé à la matrice \(A\) de l’exemple 1 ci-dessous. Les deux droites propres sont les directions invariantes : un vecteur de la droite cyan est triplé, un vecteur de la droite orange est conservé.
3. Polynôme caractéristique
Le polynôme caractéristique de \(u\) est \(\chi_u(X) = \det(X\,\mathrm{id} - u)\). C’est un polynôme unitaire de degré \(n\) :
\[ \chi_u(X) = X^n - \mathrm{tr}(u)\,X^{n-1} + \dots + (-1)^n \det(u). \]
1) Les valeurs propres de \(u\) sont exactement les racines de \(\chi_u\) dans \(\mathbb{K}\). 2) Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique. 3) Pour une matrice triangulaire, \(\chi_A(X) = \prod_{i=1}^{n} (X - a_{ii})\). 4) Si \(\lambda\) est racine de multiplicité \(m_\lambda\), alors \(1 \leq \dim E_\lambda(u) \leq m_\lambda\).
Soit \(A = \begin{pmatrix}5 & -2 \\ 4 & -1\end{pmatrix}\). On a \(\mathrm{tr}(A) = 4\) et \(\det(A) = 3\), donc \(\chi_A(X) = X^2 - 4X + 3 = (X-1)(X-3)\). Le spectre est \(\{1, 3\}\).
Pour \(\lambda = 1\) : \(A - I = \begin{pmatrix}4 & -2 \\ 4 & -2\end{pmatrix}\), d’où \(E_1 = \mathrm{Vect}(v_1)\) avec \(v_1 = (1, 2)\). Pour \(\lambda = 3\) : \(A - 3I = \begin{pmatrix}2 & -2 \\ 4 & -4\end{pmatrix}\), d’où \(E_3 = \mathrm{Vect}(v_2)\) avec \(v_2 = (1, 1)\). On vérifie \(A v_1 = v_1\) et \(A v_2 = 3 v_2\).
Sur \(\mathbb{R}\), un polynôme caractéristique peut ne pas avoir de racine. La matrice de rotation \(\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\) a pour polynôme caractéristique \(X^2 + 1\) : elle n’a aucune valeur propre réelle, alors qu’elle en a deux dans \(\mathbb{C}\).
4. Diagonalisation
\(u\) est diagonalisable s’il existe une base de \(E\) formée de vecteurs propres. Sa matrice dans cette base est alors diagonale. Pour une matrice : \(A\) est diagonalisable si \(A = P D P^{-1}\) avec \(D\) diagonale et \(P\) inversible.
Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) \(u\) est diagonalisable ; (ii) \(E = \bigoplus_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)} E_\lambda(u)\) ; (iii) \(\sum_\lambda \dim E_\lambda(u) = n\) ; (iv) \(\chi_u\) est scindé sur \(\mathbb{K}\) et \(\dim E_\lambda(u) = m_\lambda\) pour toute valeur propre \(\lambda\). En particulier, si \(\chi_u\) est scindé à racines simples (\(n\) valeurs propres distinctes), \(u\) est diagonalisable.
- Calculer \(\chi_A\) et le factoriser ; relever les valeurs propres et leurs multiplicités.
- Pour chaque valeur propre \(\lambda\), résoudre \((A - \lambda I)X = 0\) et donner une base de \(E_\lambda\).
- Comparer \(\dim E_\lambda\) et \(m_\lambda\) : si l’égalité a lieu partout, \(A\) est diagonalisable.
- Assembler les bases en colonnes dans \(P\), et placer les valeurs propres dans le même ordre dans \(D\).
Soit \(B = \begin{pmatrix}5 & -3 & -3 \\ 3 & -1 & -3 \\ 3 & -3 & -1\end{pmatrix}\). Alors \(\chi_B(X) = (X-2)^2 (X+1)\). Pour \(\lambda = -1\), on trouve \(E_{-1} = \mathrm{Vect}((1,1,1))\). Pour \(\lambda = 2\), le système se réduit à l’unique équation \(x - y - z = 0\), donc \(E_2 = \mathrm{Vect}((1,1,0),(1,0,1))\), de dimension \(2 = m_2\). La matrice \(B\) est diagonalisable : avec \(P = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\) (colonnes \((1,1,1)\), \((1,1,0)\), \((1,0,1)\)), on a \(B = P\,\mathrm{diag}(-1, 2, 2)\,P^{-1}\).
Cette figure montre le polynôme caractéristique de \(B\) : il coupe l’axe en \(-1\) (racine simple) et le touche en \(2\) (racine double), ce qui se lit sur l’alternance des signes.
Un polynôme caractéristique scindé ne suffit pas à garantir la diagonalisabilité : il faut en plus l’égalité \(\dim E_\lambda = m_\lambda\) pour chaque valeur propre multiple. La matrice \(\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}\) a pour \(\chi = (X-2)^2\) mais son sous-espace propre \(E_2\) est une droite.
5. Trigonalisation
\(u\) est trigonalisable s’il existe une base de \(E\) dans laquelle sa matrice est triangulaire supérieure.
\(u\) est trigonalisable sur \(\mathbb{K}\) si et seulement si \(\chi_u\) est scindé sur \(\mathbb{K}\). En particulier, tout endomorphisme d’un \(\mathbb{C}\)-espace vectoriel de dimension finie, et toute matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\), est trigonalisable. Les coefficients diagonaux de la matrice triangulaire sont les valeurs propres, répétées selon leur multiplicité ; leur somme est la trace, leur produit est le déterminant.
Soit \(C = \begin{pmatrix}3 & 1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}\). Ici \(\chi_C(X) = X^2 - 4X + 4 = (X-2)^2\). Comme \(C - 2I = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & -1\end{pmatrix}\) est non nulle, \(E_2 = \mathrm{Vect}(e_1)\) avec \(e_1 = (1, -1)\) : \(C\) n’est pas diagonalisable. Complétons par \(e_2 = (1, 0)\) : \(C e_2 = (3, -1) = e_1 + 2 e_2\). Dans la base \((e_1, e_2)\), la matrice est \(T = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}\), triangulaire supérieure, avec \(C = P T P^{-1}\) pour \(P = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}\).
- Choisir une valeur propre et un vecteur propre \(e_1\) : il sera le premier vecteur de la base.
- Compléter en une base \((e_1, e_2, \dots)\) et calculer la matrice : la première colonne est \((\lambda, 0, \dots, 0)\).
- Recommencer sur le bloc restant, de taille \(n - 1\).
6. Polynômes annulateurs
Pour \(P = \sum a_k X^k\), on pose \(P(u) = \sum a_k u^k\). Un polynôme \(P\) est annulateur de \(u\) si \(P(u) = 0\). Comme \(\mathcal{L}(E)\) est de dimension finie \(n^2\), il existe toujours un polynôme annulateur non nul.
Le polynôme caractéristique est annulateur : \(\chi_u(u) = 0\). Il existe un unique polynôme annulateur unitaire de degré minimal, le polynôme minimal \(\mu_u\), et il divise tout polynôme annulateur. Si \(P\) est annulateur, toute valeur propre de \(u\) est racine de \(P\) ; \(\mu_u\) et \(\chi_u\) ont les mêmes racines.
\(u\) est diagonalisable si et seulement s’il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples, c’est-à-dire si \(\mu_u\) est scindé à racines simples.
Pour la matrice \(A\) de l’exemple 1, Cayley-Hamilton donne \(A^2 - 4A + 3I = 0\). Pour calculer \(A^n\), on cherche le reste de la division de \(X^n\) par \((X-1)(X-3)\), de la forme \(aX + b\). En évaluant en \(1\) et en \(3\) : \(a + b = 1\) et \(3a + b = 3^n\), d’où \(a = \dfrac{3^n - 1}{2}\) et \(b = \dfrac{3 - 3^n}{2}\). Ainsi \(A^n = \dfrac{3^n - 1}{2} A + \dfrac{3 - 3^n}{2} I\). Pour \(n = 5\) : \(A^5 = 121 A - 120 I = \begin{pmatrix}485 & -242 \\ 484 & -241\end{pmatrix}\).
7. Lemme des noyaux
Soient \(P_1, \dots, P_r\) des polynômes deux à deux premiers entre eux et \(P = P_1 P_2 \cdots P_r\). Alors
\[ \ker P(u) = \ker P_1(u) \oplus \ker P_2(u) \oplus \dots \oplus \ker P_r(u). \]
En particulier, si \(P(u) = 0\), alors \(E = \bigoplus_i \ker P_i(u)\).
Idée de la preuve pour \(r = 2\). Si \(P_1 \wedge P_2 = 1\), la relation de Bézout fournit \(U, V\) avec \(U P_1 + V P_2 = 1\). Pour \(x \in \ker P(u)\), on écrit \(x = (U P_1)(u)(x) + (V P_2)(u)(x)\) : le premier terme est dans \(\ker P_2(u)\), le second dans \(\ker P_1(u)\). Un vecteur de l’intersection des deux noyaux est annulé par \(U P_1 + V P_2 = 1\), donc il est nul.
Soit \(N = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\). Le bloc \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) a pour carré \(-I_2\), donc \(P = (X-2)(X^2+1)\) annule \(N\). Les polynômes \(X-2\) et \(X^2+1\) sont premiers entre eux, car \(X^2 + 1 = (X-2)(X+2) + 5\). Donc \(\mathbb{R}^3 = \ker(N - 2I) \oplus \ker(N^2 + I)\) : une droite dirigée par \((1, 0, 0)\) et le plan \(\{x = 0\}\). Les projecteurs associés sont \(\pi_1 = \dfrac{N^2 + I}{5}\) et \(\pi_2 = \dfrac{4I - N^2}{5}\), de somme \(I\).
8. Sous-espaces stables
Un sous-espace \(F\) de \(E\) est stable par \(u\) si \(u(F) \subset F\). L’endomorphisme induit \(u_F : F \to F\) est la restriction de \(u\) à \(F\).
1) Une droite \(\mathrm{Vect}(x)\) est stable si et seulement si \(x\) est un vecteur propre. 2) Les sous-espaces propres, \(\ker P(u)\) et \(\mathrm{Im}\,P(u)\) sont stables par \(u\). 3) Si \(v\) commute avec \(u\), alors tout noyau et toute image de polynôme en \(u\) sont stables par \(v\). 4) Si \(F\) est stable de dimension \(p\), la matrice de \(u\) dans une base adaptée à \(F\) est triangulaire supérieure par blocs, \(\begin{pmatrix} A & * \\ 0 & B \end{pmatrix}\) avec \(A\) la matrice de \(u_F\), et \(\chi_{u_F}\) divise \(\chi_u\) car \(\chi_u = \chi_A \cdot \chi_B\). 5) La restriction d’un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable est diagonalisable.
Chercher les sous-espaces stables d’un endomorphisme, c’est chercher comment le « découper » en morceaux indépendants plus petits : c’est la clef de toute la réduction.
À retenir
- \(\lambda\) est valeur propre de \(u\) si et seulement si \(\ker(u - \lambda\,\mathrm{id}) \neq \{0\}\) ; c’est une racine de \(\chi_u\).
- Les sous-espaces propres sont en somme directe ; \(1 \leq \dim E_\lambda \leq m_\lambda\).
- \(u\) est diagonalisable si et seulement si \(\chi_u\) est scindé et \(\dim E_\lambda = m_\lambda\) pour tout \(\lambda\) ; \(n\) valeurs propres distinctes suffisent.
- \(u\) est trigonalisable si et seulement si \(\chi_u\) est scindé : toujours vrai sur \(\mathbb{C}\).
- Cayley-Hamilton : \(\chi_u(u) = 0\) ; diagonalisable si et seulement s’il existe un annulateur scindé à racines simples.
- Lemme des noyaux : polynômes premiers entre eux, noyaux en somme directe.
- Un sous-espace stable donne une matrice triangulaire par blocs ; commuter avec \(u\) rend les sous-espaces propres de \(u\) stables.
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