Espaces euclidiens : exercices corrigés de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Produit scalaire canonique dans \(\mathbb{R}^4\) ★★★

a) \(\langle x,y\rangle=4-2-3+0=-1\). \(\|x\|^2=1+4+9+0=14\) donc \(\|x\|=\sqrt{14}\). \(\|y\|^2=16+1+1+4=22\) donc \(\|y\|=\sqrt{22}\).

b) \(|\langle x,y\rangle|=1\) et \(\|x\|\|y\|=\sqrt{308}\approx17{,}5\). Comme \(1\leq\sqrt{308}\), l’inégalité est vérifiée, et elle est stricte : \(x\) et \(y\) ne sont pas colinéaires.

2 Est-ce un produit scalaire ? ★★★

a) Non : \(\varphi(x,x)=x_1^2-x_2^2\) peut être négatif (par exemple \(x=(0,1)\) donne \(-1\)) ; l’application n’est pas positive.

b) Oui : elle est bilinéaire et symétrique, et \(\psi(x,x)=x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2=(x_1+x_2)^2+x_2^2\geq0\), avec égalité seulement si \(x_2=0\) puis \(x_1=0\) : elle est définie positive.

c) Non : pour \(P=X(X-1)\neq0\) on a \(\chi(P,P)=0\) ; l’application n’est pas définie.

3 Une base orthonormée de \(\mathbb{R}^3\) ★★★

a) \(\|u_1\|^2=\tfrac{1+4+4}{9}=1\), de même pour \(u_2\) et \(u_3\). Produits : \(\langle u_1,u_2\rangle=\tfrac{2+2-4}{9}=0\), \(\langle u_1,u_3\rangle=\tfrac{2-4+2}{9}=0\), \(\langle u_2,u_3\rangle=\tfrac{4-2-2}{9}=0\). La famille est orthonormée de 3 vecteurs en dimension 3 : c’est une base orthonormée.

b) \(\langle x,u_1\rangle=\tfrac{3+12}{3}=5\), \(\langle x,u_2\rangle=\tfrac{6-12}{3}=-2\), \(\langle x,u_3\rangle=\tfrac{6+6}{3}=4\). Parseval : \(25+4+16=45=9+0+36=\|x\|^2\).

4 Matrice orthogonale ou non ? ★★★

Colonnes de \(A\) : \(\tfrac{(5,12)}{13}\) de norme \(\tfrac{\sqrt{169}}{13}=1\), \(\tfrac{(-12,5)}{13}\) de norme 1, et produit scalaire \(\tfrac{-60+60}{169}=0\) : \(A\) est orthogonale. Son déterminant vaut \(\tfrac{25+144}{169}=1\) : c’est une rotation d’angle \(\theta\) tel que \(\cos\theta=\tfrac5{13}\) et \(\sin\theta=\tfrac{12}{13}\).

Pour \(B\), la première colonne a pour norme \(\sqrt5\neq1\) : \(B\) n’est pas orthogonale (bien qu’elle soit symétrique).

5 Projeter sur une droite ★★★

Avec \(u=(1,2)\) : \(\langle x,u\rangle=3+8=11\) et \(\|u\|^2=5\). Donc \(p(x)=\tfrac{11}{5}(1,2)=(\tfrac{11}5,\tfrac{22}5)\).

Reste : \(x-p(x)=(\tfrac45,-\tfrac25)\) ; il est bien orthogonal à \(u\) car \(\tfrac45-\tfrac45=0\). Distance : \(\tfrac{\sqrt{16+4}}{5}=\tfrac{2\sqrt5}{5}\approx0{,}894\).

6 Diagonaliser une matrice symétrique \(2\times2\) ★★★

Polynôme caractéristique : \((3-\lambda)^2-1=(\lambda-2)(\lambda-4)\) ; valeurs propres \(2\) et \(4\).

Pour \(4\) : \((A-4I)v=0\) donne \(v=(1,1)\). Pour \(2\) : \(v=(1,-1)\). Ces vecteurs sont orthogonaux (\(1-1=0\)), comme prévu pour une matrice symétrique. En normalisant : \(P=\dfrac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\), \(D=\operatorname{diag}(4,2)\), et \(A=PDP^{T}\) avec \(P^{T}=P\) ici.

7 Pythagore et parallélogramme ★★★

\(\|x+y\|^2=9+16+2(-2)=21\) et \(\|x-y\|^2=9+16-2(-2)=29\). Somme : \(21+29=50=2(9+16)\), l’identité du parallélogramme est vérifiée.

Comme \(\langle x,y\rangle=-2\neq0\), les vecteurs ne sont pas orthogonaux, ce qui se voit aussi à \(\|x+y\|^2\neq9+16\).

8 Gram-Schmidt dans \(\mathbb{R}^3\) ★★★

\(e_1=\tfrac1{\sqrt5}(1,2,0)\).

\(\langle v_2,e_1\rangle=\tfrac3{\sqrt5}\), donc \(w_2=v_2-\tfrac35(1,2,0)=(\tfrac25,-\tfrac15,1)=\tfrac15(2,-1,5)\), de norme \(\tfrac{\sqrt{30}}5\) ; \(e_2=\tfrac1{\sqrt{30}}(2,-1,5)\).

\(\langle v_3,e_1\rangle=\tfrac2{\sqrt5}\), \(\langle v_3,e_2\rangle=\tfrac9{\sqrt{30}}\). Alors \(w_3=(0,1,2)-\tfrac25(1,2,0)-\tfrac{9}{30}(2,-1,5)=(-1,\tfrac12,\tfrac12)\), et \(e_3=\tfrac1{\sqrt6}(-2,1,1)\).

Contrôle : \((-2,1,1)\cdot(1,2,0)=0\) et \((-2,1,1)\cdot(2,-1,5)=0\).

9 Distance à un plan de \(\mathbb{R}^4\) ★★★

a) \(\langle a,b\rangle=1-1+0+0=0\).

b) Comme \((a,b)\) est orthogonale : \(p_F(x)=\tfrac{\langle x,a\rangle}{\|a\|^2}a+\tfrac{\langle x,b\rangle}{\|b\|^2}b\). On a \(\langle x,a\rangle=6\), \(\|a\|^2=3\), \(\langle x,b\rangle=2-3+0+5=4\), \(\|b\|^2=3\). Donc \(p_F(x)=2a+\tfrac43b=(\tfrac{10}3,\tfrac23,2,\tfrac43)\).

\(x-p_F(x)=(-\tfrac43,\tfrac73,-1,\tfrac{11}3)\), de norme au carré \(\tfrac{16+49+9+121}{9}=\tfrac{65}{3}\). Donc \(d(x,F)=\sqrt{65/3}\approx4{,}65\). Vérification par Pythagore : \(\|x\|^2-\|p_F(x)\|^2=39-\tfrac{52}3=\tfrac{65}3\).

10 Polynômes orthogonaux sur \([-1,1]\) ★★★

a) Les polynômes \(1\), \(X\) sont de parités différentes, donc \(\langle1,X\rangle=0\) et \(\langle X,X^2-\tfrac13\rangle=0\) (intégrandes impairs sur un intervalle symétrique). Puis \(\langle1,X^2-\tfrac13\rangle=\tfrac23-\tfrac23=0\). Normes au carré : \(\|1\|^2=2\), \(\|X\|^2=\tfrac23\), \(\|X^2-\tfrac13\|^2=\tfrac25-\tfrac49+\tfrac29=\tfrac8{45}\).

b) \(X^3\) est impair : \(\langle X^3,1\rangle=0\) et \(\langle X^3,X^2-\tfrac13\rangle=0\). Reste \(\langle X^3,X\rangle=\tfrac25\), donc \(p(X^3)=\tfrac{2/5}{2/3}X=\tfrac35X\). Distance : \(d^2=\|X^3\|^2-\|p\|^2=\tfrac27-\tfrac9{25}\cdot\tfrac23=\tfrac27-\tfrac6{25}=\tfrac8{175}\), soit \(d=\sqrt{8/175}\approx0{,}214\).

11 Matrice d’une projection orthogonale ★★★

a) \(p(x)=\tfrac{\langle x,u\rangle}{9}u\), donc \(P=\tfrac19uu^{T}=\tfrac19\begin{pmatrix}1&2&2\\2&4&4\\2&4&4\end{pmatrix}\).

b) \(P\) est symétrique. \(P^2=\tfrac1{81}u(u^{T}u)u^{T}=\tfrac{9}{81}uu^{T}=P\). Trace : \(\tfrac{1+4+4}9=1\), cohérente avec un projecteur de rang 1.

c) \(p(9,0,0)=\tfrac{9}{9}(1,2,2)=(1,2,2)\). Le reste est \((8,-2,-2)\), de norme \(\sqrt{72}=6\sqrt2\approx8{,}49\). Contrôle : \(81-9=72\).

12 Un demi-tour dans l’espace ★★★

a) \(S=\tfrac19\begin{pmatrix}-7&4&4\\4&-1&8\\4&8&-1\end{pmatrix}\). La première colonne a pour norme au carré \(\tfrac{49+16+16}{81}=1\) ; le produit des colonnes 1 et 2 vaut \(\tfrac{-28-4+32}{81}=0\) ; le produit des colonnes 2 et 3 vaut \(\tfrac{16-8-8}{81}=0\). Plus généralement \(S^{T}S=S^2=4P^2-4P+I=I\). Donc \(S\) est orthogonale.

b) \(S\) vaut \(+1\) sur \(D\) et \(-1\) sur \(D^{\perp}\) (dimension 2), donc \(\det S=(+1)(-1)(-1)=1\) : c’est une rotation. Sa trace est \(\tfrac{-7-1-1}9=-1=1+2\cos\theta\), d’où \(\cos\theta=-1\) : demi-tour d’axe \(D\).

13 Une isométrie à coefficients rationnels ★★★

Les lignes de \(3M\) ont pour carrés des normes \(9\), \(9\), \(9\) ; leurs produits : \(2-4+2=0\), \(4-2-2=0\), \(2+2-4=0\). Les lignes de \(M\) forment une base orthonormée, donc \(M\) est orthogonale.

Déterminant : \(\det(3M)=2(-4-2)+2(-2-4)+1(1-4)=-12-12-3=-27\) ; \(\det M=\tfrac{-27}{27}=-1\).

Enfin \(M^{-1}=M^{T}=\dfrac13\begin{pmatrix}2&1&2\\-2&2&1\\1&2&-2\end{pmatrix}\).

14 Réflexion du plan ★★★

Pour une droite d’angle \(\alpha\), la réflexion a pour matrice \(\begin{pmatrix}\cos2\alpha&\sin2\alpha\\ \sin2\alpha&-\cos2\alpha\end{pmatrix}\). Ici \(2\alpha=\tfrac{2\pi}3\) : \(S=\begin{pmatrix}-\tfrac12&\tfrac{\sqrt3}2\\ \tfrac{\sqrt3}2&\tfrac12\end{pmatrix}\). On vérifie \(\det S=-\tfrac14-\tfrac34=-1\) et \(S^2=I\).

Image : \(s(2,0)=(-1,\sqrt3)\). Contrôle avec le projeté \(p(x)=\langle x,d\rangle d=(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}2)\) : \(2p(x)-x=(-1,\sqrt3)\), c’est le symétrique et \(p(x)\) est le milieu de \([x,s(x)]\).

15 Puissances d’une matrice symétrique ★★★

Notons \(J\) la matrice remplie de 1 et \(p=\tfrac13J\), projecteur orthogonal sur \(\operatorname{Vect}((1,1,1))\). Les valeurs propres de \(A\) sont \(5\) (sur cette droite) et \(-1\) (sur le plan orthogonal). Ainsi \(A=5p+(-1)(I-p)\) et, comme \(p\) et \(I-p\) sont des projecteurs orthogonaux entre eux, \(A^n=5^np+(-1)^n(I-p)\).

Donc \(A^n=\dfrac{5^n-(-1)^n}{3}J+(-1)^nI\).

Pour \(n=3\) : \(\tfrac{125+1}{3}=42\), donc \(A^3=42J-I\) : coefficients diagonaux \(41\), autres coefficients \(42\).

16 Meilleure approximation affine d’une parabole ★★★

Dans \(\mathbb{R}[X]\) muni de \(\langle P,Q\rangle=\int_0^1PQ\), on cherche le projeté de \(X^2\) sur \(F=\mathbb{R}_1[X]\) : \(I(a,b)=\|X^2-aX-b\|^2\) est minimal pour \(aX+b=p_F(X^2)\).

Le reste est orthogonal à \(1\) et à \(X\) : \(\tfrac13-\tfrac a2-b=0\) et \(\tfrac14-\tfrac a3-\tfrac b2=0\). La première donne \(b=\tfrac13-\tfrac a2\) ; en reportant : \(\tfrac14-\tfrac a3-\tfrac16+\tfrac a4=\tfrac1{12}-\tfrac a{12}=0\), donc \(a=1\) et \(b=-\tfrac16\).

Minimum : \(\|X^2-p\|^2=\langle X^2-p,X^2\rangle=\tfrac15-\tfrac14+\tfrac1{18}=\tfrac1{180}\).

17 Produit scalaire de Frobenius ★★★

a) \(\operatorname{tr}(A^{T}B)=\sum_{i,j}a_{ij}b_{ij}\) : la bilinéarité et la symétrie sont claires, et \(\langle A,A\rangle=\sum a_{ij}^2\geq0\), nul seulement pour \(A=0\).

b) Pour \(S\) symétrique et \(K\) antisymétrique : \(\langle S,K\rangle=\operatorname{tr}(SK)=\operatorname{tr}((SK)^{T})=\operatorname{tr}(K^{T}S^{T})=-\operatorname{tr}(KS)=-\operatorname{tr}(SK)\), donc \(\langle S,K\rangle=0\). Comme \(\dim\mathcal{S}_2+\dim\mathcal{A}_2=3+1=4\), on a \(\mathcal{A}_2=\mathcal{S}_2^{\perp}\).

c) Le projeté sur \(\mathcal{S}_2\) est \(\tfrac12(A+A^{T})=\begin{pmatrix}1&\tfrac52\\ \tfrac52&4\end{pmatrix}\) ; le reste est \(\tfrac12(A-A^{T})=\begin{pmatrix}0&-\tfrac12\\ \tfrac12&0\end{pmatrix}\), de norme \(\sqrt{\tfrac14+\tfrac14}=\tfrac{\sqrt2}2\).

18 L’opérateur de Legendre ★★★

a) Pour \(P\in\mathbb{R}_2[X]\), \((X^2-1)P'\) est de degré \(\leq3\), donc \(u(P)\) est de degré \(\leq2\) : \(u\) est bien un endomorphisme, linéaire. Pour \(P,Q\) : \(\langle u(P),Q\rangle=\left[(t^2-1)P'(t)Q(t)\right]_{-1}^1-\int_{-1}^1(t^2-1)P'Q'\,dt\). Le crochet est nul car \(t^2-1\) s’annule en \(\pm1\). L’expression restante est symétrique en \(P,Q\), donc \(\langle u(P),Q\rangle=\langle P,u(Q)\rangle\).

b) \(u(1)=0\), \(u(X)=(X^2-1)'=2X\), \(u(X^2)=(2X^3-2X)'=6X^2-2\), donc \(u(X^2-\tfrac13)=6X^2-2=6(X^2-\tfrac13)\). Valeurs propres : \(0\), \(2\), \(6\), de vecteurs propres \(1\), \(X\), \(X^2-\tfrac13\). Ils sont deux à deux orthogonaux, comme le prédit la propriété des espaces propres d’un autoadjoint (voir l’exercice sur les polynômes sur \([-1,1]\)).

19 Maximum d’une forme quadratique ★★★

\(\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)\left[(2-\lambda)^2-1\right]-(2-\lambda)=(2-\lambda)\left[(2-\lambda)^2-2\right]\). Valeurs propres : \(2-\sqrt2\), \(2\), \(2+\sqrt2\).

Par le théorème spectral, dans une BON de vecteurs propres, \(q(x)=\sum\lambda_iy_i^2\) avec \(\sum y_i^2=1\), donc \(2-\sqrt2\leq q(x)\leq2+\sqrt2\), avec égalité pour un vecteur propre unitaire.

Maximum \(2+\sqrt2\approx3{,}41\) atteint en \(\pm\tfrac12(1,-\sqrt2,1)\) (on vérifie \(A(1,-\sqrt2,1)=(2+\sqrt2)(1,-\sqrt2,1)\)). Minimum \(2-\sqrt2\approx0{,}59\) atteint en \(\pm\tfrac12(1,\sqrt2,1)\).

20 Axe et angle d’une rotation de l’espace ★★★

a) \(R^{T}R=M^{T}M=I\) et \(\det R=(-1)^3\det M=1\) : \(R\in SO_3(\mathbb{R})\), c’est une rotation.

b) L’axe est \(\ker(R-I)=\ker(M+I)\). Le système \(5x-2y+z=0\), \(x+5y+2z=0\), \(2x+y+z=0\) (lignes de \(3(M+I)\)) donne, par la troisième équation, \(z=-2x-y\), puis la première : \(3x-3y=0\), donc \(y=x\), \(z=-3x\). Axe : \(\operatorname{Vect}((1,1,-3))\). Vérification : \(M(1,1,-3)=(-1,-1,3)\), donc \(R(1,1,-3)=(1,1,-3)\).

Angle : \(\operatorname{tr}R=-\operatorname{tr}M=-\tfrac{2+2-2}{3}=-\tfrac23=1+2\cos\theta\), d’où \(\cos\theta=-\tfrac56\).

21 Image et noyau d’un autoadjoint ★★★

Inclusion \(\operatorname{Im}u\subset(\ker u)^{\perp}\) : soit \(y=u(x)\) et \(z\in\ker u\). Alors \(\langle y,z\rangle=\langle u(x),z\rangle=\langle x,u(z)\rangle=\langle x,0\rangle=0\).

Égalité : par le théorème du rang, \(\dim\operatorname{Im}u=n-\dim\ker u\), et \(\dim(\ker u)^{\perp}=n-\dim\ker u\). Les deux sous-espaces sont inclus l’un dans l’autre et de même dimension finie : ils sont égaux.

Enfin, \(E=\ker u\oplus(\ker u)^{\perp}=\ker u\oplus\operatorname{Im}u\). Remarque : cela échoue pour un endomorphisme quelconque (par exemple un nilpotent non nul).