Espaces euclidiens : cours de maths Maths Spé

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Cours de maths en Maths Spé : Espaces euclidiens — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’un produit scalaire. On y mesure longueurs et angles, on y projette, et l’on y diagonalise « proprement » : c’est la géométrie de la dimension \(n\) et le chemin vers le théorème spectral, résultat central de l’algèbre linéaire de deuxième année.

Sommaire

1. Produit scalaire et norme

Produit scalaire

Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel. Un produit scalaire est une forme bilinéaire \(\langle\cdot,\cdot\rangle : E\times E\to\mathbb{R}\) symétrique, définie (\(\langle x,x\rangle=0\Rightarrow x=0\)) et positive (\(\langle x,x\rangle\geq 0\)). Un espace euclidien est un tel espace \(E\) de dimension finie. La norme associée est \(\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}\).

Trois exemples de référence : le produit canonique \(\langle x,y\rangle=\sum_i x_iy_i\) sur \(\mathbb{R}^n\), le produit \(\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A^{T}B)=\sum_{i,j}a_{ij}b_{ij}\) sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), et \(\langle P,Q\rangle=\int_a^b P(t)Q(t)\,dt\) sur \(\mathbb{R}_n[X]\) (avec \(a

Inégalités et identités

Cauchy-Schwarz : \(|\langle x,y\rangle|\leq\|x\|\,\|y\|\), avec égalité si et seulement si \(x\) et \(y\) sont colinéaires.
Inégalité triangulaire : \(\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|\).
\(\|x+y\|^2=\|x\|^2+2\langle x,y\rangle+\|y\|^2\) ; identité du parallélogramme : \(\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2\).
Pythagore : \(x\perp y\iff\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2\).

Exemple 1 : un angle dans \(\mathbb{R}_1[X]\)

Munissons \(\mathbb{R}_1[X]\) de \(\langle P,Q\rangle=\int_0^1PQ\). Pour \(P=X\) et \(Q=1-X\) : \(\langle P,Q\rangle=\int_0^1(t-t^2)\,dt=\dfrac16\), \(\|P\|^2=\int_0^1t^2dt=\dfrac13\) et \(\|Q\|^2=\dfrac13\). Alors \(\cos\theta=\dfrac{1/6}{1/3}=\dfrac12\) : l’angle vaut \(\dfrac{\pi}{3}\).

2. Familles et bases orthonormées

Une famille est orthogonale si ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux, orthonormée si de plus chacun est de norme 1. Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre. Dans un espace euclidien de dimension \(n\), une famille orthonormée de \(n\) vecteurs est donc une base orthonormée (BON).

Calculs en base orthonormée

Si \((e_1,\dots,e_n)\) est une BON, alors pour tous \(x,y\) : \(x=\sum_{i=1}^n\langle x,e_i\rangle e_i\), \(\langle x,y\rangle=\sum_i x_iy_i\) et \(\|x\|^2=\sum_i\langle x,e_i\rangle^2\) (égalité de Parseval). Les coordonnées se lisent donc sans résoudre aucun système.

L’orthogonal d’un sous-espace \(F\) est \(F^{\perp}=\{x\in E:\ \forall y\in F,\ \langle x,y\rangle=0\}\). En dimension finie, \(E=F\oplus F^{\perp}\), donc \(\dim F^{\perp}=n-\dim F\), et \((F^{\perp})^{\perp}=F\).

3. Le procédé de Gram-Schmidt

Toute famille libre \((v_1,\dots,v_p)\) se transforme en une famille orthonormée \((e_1,\dots,e_p)\) engendrant, à chaque étape, le même sous-espace : \(\operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_k)=\operatorname{Vect}(v_1,\dots,v_k)\). En particulier, tout espace euclidien possède une base orthonormée.

Méthode : orthonormaliser pas à pas

\(e_1=\dfrac{v_1}{\|v_1\|}\).
Pour \(k\geq2\) : on retire à \(v_k\) sa composante dans ce qui est déjà construit, \(w_k=v_k-\sum_{i
On normalise : \(e_k=\dfrac{w_k}{\|w_k\|}\).

Exemple 2 : orthonormaliser trois vecteurs de \(\mathbb{R}^3\)

Soit \(v_1=(1,1,0)\), \(v_2=(1,0,1)\), \(v_3=(0,1,1)\). On obtient \(e_1=\tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0)\). Ensuite \(\langle v_2,e_1\rangle=\tfrac1{\sqrt2}\), donc \(w_2=v_2-\tfrac12(1,1,0)=(\tfrac12,-\tfrac12,1)\) de norme au carré \(\tfrac32\), et \(e_2=\tfrac1{\sqrt6}(1,-1,2)\). Enfin \(w_3=v_3-\tfrac12(1,1,0)-\tfrac16(1,-1,2)=(-\tfrac23,\tfrac23,\tfrac23)\), d’où \(e_3=\tfrac1{\sqrt3}(-1,1,1)\).

4. Projections orthogonales et distance à un sous-espace

Comme \(E=F\oplus F^{\perp}\), tout \(x\) s’écrit de façon unique \(x=p_F(x)+z\) avec \(p_F(x)\in F\) et \(z\in F^{\perp}\) : \(p_F(x)\) est le projeté orthogonal de \(x\) sur \(F\).

Calcul et meilleure approximation

Si \((e_1,\dots,e_p)\) est une base orthonormée de \(F\), alors \(p_F(x)=\sum_{i=1}^{p}\langle x,e_i\rangle e_i\). De plus, \(p_F(x)\) est l’unique point de \(F\) le plus proche de \(x\) : pour tout \(y\in F\), \(\|x-y\|\geq\|x-p_F(x)\|\), et la distance est \(d(x,F)=\|x-p_F(x)\|\), avec \(d(x,F)^2=\|x\|^2-\|p_F(x)\|^2\).

Pour une droite dirigée par \(u\), \(p(x)=\dfrac{\langle x,u\rangle}{\|u\|^2}\,u\) ; pour un hyperplan d’équation \(\langle n,x\rangle=0\), \(d(x,F)=\dfrac{|\langle n,x\rangle|}{\|n\|}\).

Exemple 3 : distance à un plan de \(\mathbb{R}^3\)

Soit \(F=\operatorname{Vect}((1,1,0),(1,0,1))\) et \(x=(2,1,4)\). Un vecteur normal à \(F\) est \(n=(1,-1,-1)\) (il est orthogonal aux deux générateurs). Alors \(\langle n,x\rangle=-3\) et \(\|n\|^2=3\), donc \(p_F(x)=x-\dfrac{-3}{3}\,n=x+n=(3,0,3)\) et \(d(x,F)=\dfrac{3}{\sqrt3}=\sqrt3\).

Conseil de Zyro

Quand tu cherches une distance, écris d’abord le projeté : la distance est la norme de ce qui reste, et la vérification \(x-p_F(x)\perp F\) détecte presque toutes les erreurs de calcul.

5. Isométries vectorielles

Isométrie vectorielle (endomorphisme orthogonal)

Un endomorphisme \(u\) de \(E\) est une isométrie vectorielle s’il conserve la norme : \(\|u(x)\|=\|x\|\) pour tout \(x\).

Caractérisations

Les propositions suivantes sont équivalentes : \(u\) conserve la norme ; \(u\) conserve le produit scalaire ; \(u\) transforme une (toute) base orthonormée en base orthonormée. Une isométrie est un automorphisme, \(u^{-1}=u^{*}\), et son déterminant vaut \(\pm1\). Elles forment le groupe orthogonal \(O(E)\) ; celles de déterminant \(1\) forment \(SO(E)\).

En dimension 2, les éléments de \(SO(E)\) sont les rotations, ceux de déterminant \(-1\) sont les réflexions (symétries orthogonales par rapport à une droite). En dimension 3, une isométrie de déterminant \(1\) est une rotation autour d’un axe (le sous-espace des vecteurs invariants), d’angle \(\theta\) donné par \(\operatorname{tr}(u)=1+2\cos\theta\).

6. Matrices orthogonales

Matrice orthogonale

Une matrice \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est orthogonale si \(A^{T}A=I_n\), c’est-à-dire \(A^{-1}=A^{T}\). Cela équivaut à dire que ses colonnes (ou ses lignes) forment une base orthonormée de \(\mathbb{R}^n\).

Une matrice est orthogonale si et seulement si c’est la matrice d’une isométrie dans une base orthonormée. La matrice de passage entre deux bases orthonormées est orthogonale. On note \(O_n(\mathbb{R})\) l’ensemble de ces matrices et \(SO_n(\mathbb{R})\) celles de déterminant \(1\). En dimension 2 : \(SO_2=\left\{\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\right\}\).

Exemple 4 : reconnaître une réflexion

Soit \(A=\dfrac15\begin{pmatrix}3&4\\4&-3\end{pmatrix}\). Les colonnes ont pour norme \(\tfrac{\sqrt{9+16}}{5}=1\) et sont orthogonales (\(12-12=0\)), donc \(A\) est orthogonale. Son déterminant est \(\dfrac{-9-16}{25}=-1\) : c’est une réflexion. Son axe est \(\ker(A-I)\) : comme \(A\binom{2}{1}=\dfrac15\binom{10}{5}=\binom{2}{1}\), la droite d’axe est \(\operatorname{Vect}((2,1))\).

Attention

Orthogonale n’est pas symétrique : \(A^{T}A=I\) ne dit pas \(A^{T}=A\). Une matrice dont les colonnes sont seulement orthogonales (mais pas de norme 1) n’est pas orthogonale.

7. Endomorphismes autoadjoints

Endomorphisme autoadjoint (symétrique)

Un endomorphisme \(u\) de \(E\) est autoadjoint si \(\langle u(x),y\rangle=\langle x,u(y)\rangle\) pour tous \(x,y\in E\).

Propriétés

Dans une base orthonormée, \(u\) est autoadjoint si et seulement si sa matrice est symétrique.
Les projections et symétries orthogonales sont autoadjointes.
Si un sous-espace \(F\) est stable par \(u\) autoadjoint, alors \(F^{\perp}\) l’est aussi.
Les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

La dernière propriété se démontre en une ligne : si \(u(x)=\lambda x\) et \(u(y)=\mu y\), alors \(\lambda\langle x,y\rangle=\langle u(x),y\rangle=\langle x,u(y)\rangle=\mu\langle x,y\rangle\), donc \((\lambda-\mu)\langle x,y\rangle=0\) et \(\langle x,y\rangle=0\) si \(\lambda\neq\mu\).

8. Le théorème spectral

Théorème spectral

Tout endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien admet une base orthonormée de vecteurs propres ; ses valeurs propres sont réelles. Matriciellement : si \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est symétrique, il existe \(P\in O_n(\mathbb{R})\) et \(D\) diagonale réelle telles que \(A=PDP^{T}\).

Méthode : diagonaliser une matrice symétrique en base orthonormée

Calculer les valeurs propres (racines du polynôme caractéristique).
Pour chaque valeur propre, déterminer une base du sous-espace propre.
Orthonormaliser (Gram-Schmidt) à l’intérieur de chaque sous-espace propre ; les différents sous-espaces sont déjà orthogonaux entre eux.
Rassembler les colonnes dans \(P\) ; vérifier \(P^{T}AP=D\).

Exemple 5 : une matrice \(3\times3\) symétrique

Soit \(A=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}=2J-I\), où \(J\) est la matrice dont tous les coefficients valent 1. Comme \(J(1,1,1)=3(1,1,1)\) et que \(J\) s’annule sur le plan \(x+y+z=0\), les valeurs propres de \(A\) sont \(5\) (pour \((1,1,1)\)) et \(-1\) (double, sur le plan \(x+y+z=0\)). Une BON adaptée est \(\tfrac1{\sqrt3}(1,1,1)\), \(\tfrac1{\sqrt2}(1,-1,0)\), \(\tfrac1{\sqrt6}(1,1,-2)\), et \(A=P\,\mathrm{diag}(5,-1,-1)\,P^{T}\).

Géométriquement, une matrice symétrique transforme le cercle unité en une ellipse dont les axes sont portés par des directions orthogonales, les vecteurs propres, et dont les demi-longueurs sont les valeurs propres (ici \(3\) et \(1\) pour \(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)). Conséquence : sur la sphère unité, la forme quadratique \(q(x)=\langle Ax,x\rangle=\sum\lambda_iy_i^2\) est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur propre.

Attention

Le théorème spectral porte sur les matrices symétriques réelles. Une matrice orthogonale n’est en général pas diagonalisable sur \(\mathbb{R}\) (une rotation du plan n’a pas de valeur propre réelle).

À retenir

Produit scalaire : bilinéaire, symétrique, défini, positif ; Cauchy-Schwarz \(|\langle x,y\rangle|\leq\|x\|\|y\|\).
En BON : \(x=\sum\langle x,e_i\rangle e_i\) et \(\|x\|^2=\sum\langle x,e_i\rangle^2\).
Gram-Schmidt fabrique une BON ; \(p_F(x)=\sum\langle x,e_i\rangle e_i\) et \(d(x,F)=\|x-p_F(x)\|\).
Isométrie : conserve la norme ; matrice orthogonale \(A^{T}A=I\), déterminant \(\pm1\).
Autoadjoint \(\iff\) matrice symétrique en BON ; espaces propres orthogonaux ; \(A=PDP^{T}\) avec \(P\) orthogonale.