Topologie des espaces métriques et normés : corrigé du contrôle de maths Licence L2

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Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.

Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice autorisée seulement quand l’énoncé le précise.

Sommaire

\(\|x\|_1=2+6+9=17\) ; \(\|x\|_2=\sqrt{4+36+81}=\sqrt{121}=11\) ; \(\|x\|_\infty=9\). (1,5 pt)
\(x-y=(-3,8,-11)\), donc \(\|x-y\|_1=3+8+11=22\) et \(\|x-y\|_\infty=11\). (1 pt)
\(9\le11\le17\) et \(17\le3\times9=27\) : la chaîne est vérifiée. (1,5 pt)

\(\mathring{A}=\,]0,1[\) : les points \(2\) et \(3-\tfrac1n\) sont isolés dans \(A\), et \(0\) n’a pas de boule incluse dans \(A\). (1 pt)
\(3-\tfrac1n\to3\notin A\), et \(1\) est limite de points de \([0,1[\). Donc \(\overline{A}=[0,1]\cup\{2\}\cup\{3-\tfrac1n : n\ge2\}\cup\{3\}\). (1 pt)
Frontière \(=\overline{A}\setminus\mathring{A}=\{0,1,2,3\}\cup\{3-\tfrac1n : n\ge2\}\). \(A\) n’est pas ouverte (\(0\in A\) sans voisinage dans \(A\)) ni fermée (\(1\in\overline{A}\setminus A\)). (1 pt)

\(\dfrac{2n^2+1}{n^2+n}\to2\) et \(\left(\tfrac12\right)^n\to0\) : \(\ell=(2,0)\). (1 pt)
\(\dfrac{2n^2+1}{n^2+n}-2=\dfrac{1-2n}{n^2+n}\), de valeur absolue \(\dfrac{2n-1}{n(n+1)}\le\dfrac2n\) ; et \(2^{-n}\le\tfrac1n\le\tfrac2n\). Donc \(\|u_n-\ell\|_\infty\le\tfrac2n<0{,}01\) dès que \(n>200\) : \(N=201\) convient. (1 pt)
\(K\) est borné (suite convergente, donc bornée). Il est fermé : une suite de \(K\) a une sous-suite soit stationnaire (un \(u_n\) répété), soit formée de termes d’indices tendant vers l’infini, donc convergeant vers \(\ell\in K\). En dimension finie, \(K\) est compact. (1 pt)

\(|x+2y|\le|x|+2|y|\le3\|(x,y)\|_\infty\) et \(|3x-y|\le3|x|+|y|\le4\|(x,y)\|_\infty\). Donc \(\|u(x,y)\|_\infty\le4\|(x,y)\|_\infty\). (1,5 pt)
Pour \((1,-1)\) : \(u(1,-1)=(-1,4)\) de norme \(4=4\|(1,-1)\|_\infty\). La constante \(4\) est donc atteinte : \(\|u\|=4\). (1,5 pt)
Le déterminant vaut \(1\times(-1)-2\times3=-7\ne0\) : \(u\) est bijective. Son inverse est linéaire sur un espace de dimension finie, donc continue. (1 pt)

\(K\) est l’image réciproque du fermé \([0,2]\) par l’application continue \((x,y)\mapsto|x|+|y|\) : il est fermé. Il est contenu dans la boule fermée de rayon \(2\) pour \(\|\cdot\|_1\) (norme équivalente à toutes les autres) : il est borné. Il est donc compact. (1,5 pt)
Sur \(K\), \(f(x,y)\le|x|+3|y|\le3(|x|+|y|)\le6\), et \(f(0,2)=6\) avec \((0,2)\in K\). Le maximum est \(6\), atteint en \((0,2)\). (1,5 pt)

\(g'(x)=\tfrac14\cos x\), donc \(|g'|\le\tfrac14\) et, par l’inégalité des accroissements finis, \(g\) est \(\tfrac14\)-lipschitzienne : c’est une contraction. (1 pt)
\(\mathbb{R}\) est complet et \(g(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}\) : le théorème de Banach donne un unique point fixe \(\ell\). (1 pt)
\(u_1=g(0)=\tfrac13\). La majoration a priori donne \(|u_n-\ell|\le\dfrac{(1/4)^n}{1-1/4}\,|u_1-u_0|=\dfrac43\times\dfrac13\left(\tfrac14\right)^n=\dfrac49\left(\tfrac14\right)^n\). (1 pt)

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