Probabilités sur un univers dénombrable : exercices de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Une loi en k² ★★★

Sur \( \Omega=\{1,2,3,4\} \), on pose \( \mathbb{P}(\{k\})=c\,k^2 \). Déterminer \( c \), puis la probabilité de l’événement « \( k\ge3 \) ».

2 Tirage de deux boules ★★★

Une urne contient 5 boules rouges, 3 vertes et 2 bleues. On tire simultanément 2 boules. Calculer la probabilité d’obtenir deux rouges, puis deux boules de même couleur.

3 Indépendance sur un dé ★★★

On lance un dé équilibré. \( A \) : « le résultat est pair », \( B \) : « le résultat est au moins 3 », \( D \) : « le résultat est au moins 4 ». Étudier l’indépendance de \( A \) et \( B \), puis de \( A \) et \( D \).

4 Vrai ou faux sur une réunion ★★★

On suppose \( \mathbb{P}(A)=0{,}3 \) et \( \mathbb{P}(B)=0{,}5 \). Dire, en justifiant, si chaque affirmation est vraie ou fausse : (a) \( \mathbb{P}(A\cup B)=0{,}8 \) ; (b) \( 0{,}5\le\mathbb{P}(A\cup B)\le0{,}8 \) ; (c) \( \mathbb{P}(A\cap B)\le0{,}3 \).

5 Espérance et variance d’une loi donnée ★★★

La variable \( X \) prend les valeurs 0, 1, 2, 3 avec les probabilités 0,1 ; 0,4 ; 0,3 ; 0,2. Calculer \( \mathbb{E}(X) \) et \( \operatorname{Var}(X) \).

6 Questionnaire au hasard ★★★

Un élève répond au hasard à 12 questions, chacune ayant 4 propositions dont une seule exacte. Soit \( X \) le nombre de bonnes réponses. Donner la loi de \( X \), \( \mathbb{E}(X) \), \( \operatorname{Var}(X) \) et la probabilité de n’avoir aucune bonne réponse (arrondie à \( 10^{-3} \)).

7 Une première borne de Markov ★★★

Le nombre \( X \) d’appels reçus en une heure par un standard a pour espérance 4. Majorer \( \mathbb{P}(X\ge12) \) et minorer \( \mathbb{P}(X<12) \).

8 Dépistage ★★★

Dans une population, 2 % des personnes sont atteintes d’une affection. Un test est positif pour 95 % des personnes atteintes et pour 4 % des personnes non atteintes. Calculer la probabilité qu’un test soit positif, puis la probabilité d’être atteint sachant que le test est positif.

9 Pile attendu ★★★

Une pièce donne pile avec la probabilité 0,2. On la lance jusqu’au premier pile ; \( X \) est le rang de ce pile. Calculer \( \mathbb{P}(X=3) \), \( \mathbb{P}(X>5) \), \( \mathbb{E}(X) \), puis \( \mathbb{P}(X>7\mid X>2) \).

10 Avis rares ★★★

Le nombre d’avis reçus en une heure suit une loi de Poisson de paramètre 2,5. Calculer, à \( 10^{-3} \) près, la probabilité de n’en recevoir aucun, d’en recevoir au moins un, puis exactement deux.

11 Deux à deux mais pas mutuellement ★★★

On lance deux dés équilibrés. \( A \) : « le premier est pair », \( B \) : « le second est pair », \( C \) : « la somme est paire ». Montrer que \( A,B,C \) sont indépendants deux à deux mais pas mutuellement indépendants.

12 Fonction génératrice d’une loi ★★★

Une variable \( X \) a pour fonction génératrice \( G(s)=\dfrac{(1+s)^3}{8} \). Déterminer sa loi, \( \mathbb{E}(X) \) et \( \operatorname{Var}(X) \). On donne la courbe de \( G \).

13 Combinaison de variables indépendantes ★★★

Les variables \( X \) et \( Y \) sont indépendantes, avec \( \mathbb{E}(X)=2 \), \( \mathbb{E}(Y)=-1 \), \( \operatorname{Var}(X)=4 \), \( \operatorname{Var}(Y)=9 \). Calculer l’espérance et la variance de \( Z=3X-2Y+5 \).

14 Combien de lancers ? ★★★

(a) Une variable \( X \) a pour espérance 120 et variance 16. Majorer \( \mathbb{P}(|X-120|\ge10) \). (b) Une pièce donne pile avec la probabilité 0,3. Trouver un entier \( n \) tel que la fréquence \( S_n/n \) de piles soit à moins de 0,05 de 0,3 avec une probabilité au moins égale à 0,9.

15 Minimum de deux temps d’attente ★★★

Soit \( X \) et \( Y \) indépendantes de loi \( \mathcal{G}(1/3) \). Montrer que \( M=\min(X,Y) \) suit une loi géométrique dont on donnera le paramètre et l’espérance.

16 Somme de deux lois de Poisson ★★★

Soit \( X\sim\mathcal{P}(1{,}5) \) et \( Y\sim\mathcal{P}(2{,}5) \) indépendantes. Par les fonctions génératrices, déterminer la loi de \( X+Y \), puis \( \mathbb{P}(X+Y=3) \).

17 Espérance par les queues ★★★

(a) Montrer que si \( X \) est à valeurs dans \( \mathbb{N} \), \( \mathbb{E}(X)=\sum_{k\ge1}\mathbb{P}(X\ge k) \). (b) En déduire l’espérance du maximum de deux lancers d’un dé équilibré.

18 Points fixes d’une permutation ★★★

On choisit au hasard une permutation de \( \{1,\dots,n\} \) (\( n\ge2 \)). Soit \( X \) le nombre de points fixes. En écrivant \( X \) comme somme d’indicatrices, calculer \( \mathbb{E}(X) \) puis \( \operatorname{Var}(X) \).

19 Un lemme de Borel-Cantelli ★★★

Les événements \( A_n \) vérifient \( \mathbb{P}(A_n)=\dfrac1{n^2} \) pour \( n\ge1 \). Montrer qu’avec probabilité 1, seuls un nombre fini d’entre eux se réalisent.

20 Moments de la loi géométrique ★★★

Soit \( X\sim\mathcal{G}(p) \), \( q=1-p \). (a) Montrer que \( G_X(s)=\dfrac{ps}{1-qs} \) pour \( |s|<1/q \). (b) En déduire \( \mathbb{E}(X) \) et \( \operatorname{Var}(X) \). (c) Application numérique pour \( p=\tfrac14 \).

21 Amincissement d’une loi de Poisson ★★★

Le nombre \( N \) de messages reçus suit \( \mathcal{P}(6) \). Chaque message est lu, indépendamment des autres, avec la probabilité \( \tfrac13 \). Soit \( K \) le nombre de messages lus. Montrer que \( K\sim\mathcal{P}(2) \) et calculer \( \mathbb{P}(K=0) \).