Intégrales doubles et triples : exercices corrigés de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Un rectangle et une somme ★★★

La fonction est continue, on applique Fubini. D’abord en \(y\) : \(\int_1^2(2x+y)\,dy=2x+\dfrac32\). Puis en \(x\) : \(\int_0^3\left(2x+\dfrac32\right)dx=9+\dfrac92=\dfrac{27}{2}\).

Réponse : \(\dfrac{27}{2}\).

2 Produit de sinus et cosinus ★★★

La fonction est un produit \(g(x)h(y)\) sur un rectangle : \(\int_0^\pi\sin x\,dx=2\) et \(\int_0^{\pi/2}\cos y\,dy=1\).

Réponse : \(2\).

3 Un triangle ★★★

\(D\) est le triangle de sommets \((0,0)\), \((2,0)\), \((2,2)\). Intégrons en \(y\) d’abord : \(\int_0^x xy\,dy=x\cdot\dfrac{x^2}{2}=\dfrac{x^3}{2}\). Puis \(\int_0^2\dfrac{x^3}{2}dx=\dfrac{16}{8}=2\).

Réponse : \(2\).

4 Aire sous une parabole ★★★

Les courbes se coupent en \(x=\pm2\) et \(x^2\le y\le4\). Aire \(=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}=2\left(8-\dfrac83\right)=\dfrac{32}{3}\).

Réponse : \(\dfrac{32}{3}\) unités d’aire.

5 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai. C’est le produit \(\int_{-1}^1x\,dx\times\int_{-1}^1y\,dy=0\times0=0\).
2. Faux. \(\iint(x+y)=\dfrac12+\dfrac12=1\), dont le carré vaut 1. Mais \(\iint(x^2+2xy+y^2)=\dfrac13+2\cdot\dfrac14+\dfrac13=\dfrac76\neq1\).

6 Deux calculs en polaires ★★★

1. \(\int_0^{2\pi}\int_0^3r\,dr\,d\theta=2\pi\times\dfrac92=9\pi\).
2. \(x^2+y^2=r^2\), donc \(\int_0^{2\pi}\int_0^2r^2\cdot r\,dr\,d\theta=2\pi\times\dfrac{16}{4}=8\pi\).

7 Une somme sur un pavé ★★★

Par linéarité, chaque terme est intégré sur le pavé de volume \(1\times2\times3=6\) :

\(\iiint x=\dfrac12\cdot(2\cdot3)=3\) ; \(\iiint y=2\cdot(1\cdot3)=6\) ; \(\iiint z=\dfrac92\cdot(1\cdot2)=9\).

Réponse : \(3+6+9=18\).

8 Entre deux courbes ★★★

Sur \([0,1]\), \(x^2\le\sqrt x\). Donc \(\int_{x^2}^{\sqrt x}y\,dy=\dfrac{x-x^4}{2}\). Puis \(\dfrac12\int_0^1(x-x^4)\,dx=\dfrac12\left(\dfrac12-\dfrac15\right)=\dfrac{3}{20}\).

Réponse : \(\dfrac3{20}\).

9 Échanger l’ordre ★★★

La fonction \(x\mapsto e^{x^2}\) n’a pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles. Le domaine est \(\{0\le y\le x\le1\}\), que l’on décrit aussi par \(0\le x\le1\), \(0\le y\le x\). Alors
\[ I=\int_0^1\int_0^xe^{x^2}\,dy\,dx=\int_0^1xe^{x^2}\,dx=\left[\dfrac{e^{x^2}}{2}\right]_0^1=\dfrac{e-1}{2}. \]

Réponse : \(\dfrac{e-1}{2}\).

10 Le losange ★★★

\(D\) devient \(\Delta=[-1,1]^2\) et \(|J|=\dfrac12\) (voir le cours). L’intégrande vaut \(u^2\) :
\[ \iint_D(x+y)^2=\dfrac12\int_{-1}^1u^2du\int_{-1}^1dv=\dfrac12\times\dfrac23\times2=\dfrac23. \]

Réponse : \(\dfrac23\).

11 Un quart de disque ★★★

En polaires, \(\theta\in[0,\pi/2]\) et \(r\in[0,1]\), \(xy=r^2\cos\theta\sin\theta\) :
\[ \iint_Dxy=\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\int_0^1r^3dr=\dfrac12\times\dfrac14=\dfrac18. \]

Réponse : \(\dfrac18\).

12 Une couronne ★★★

En polaires, \(r\in[1,2]\), \(\theta\in[0,2\pi]\), et \(\dfrac{1}{x^2+y^2}=\dfrac1{r^2}\) :
\[ \int_0^{2\pi}d\theta\int_1^2\dfrac1{r^2}\,r\,dr=2\pi\,[\ln r]_1^2=2\pi\ln2. \]

Réponse : \(2\pi\ln2\).

13 Volume sous un paraboloïde ★★★

La surface rencontre \(z=0\) sur le cercle \(r=2\). En polaires :
\[ V=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^2(4-r^2)\,r\,dr\,d\theta=2\pi\left[2r^2-\dfrac{r^4}{4}\right]_0^2=2\pi(8-4)=8\pi. \]

Réponse : \(8\pi\) unités de volume.

14 Moment sur un tétraèdre ★★★

À \(z\) fixé, la section est un triangle rectangle de côté \(1-z\), d’aire \(\dfrac{(1-z)^2}{2}\). Donc
\[ \iiint_Tz\,dV=\int_0^1z\dfrac{(1-z)^2}{2}dz=\dfrac12\int_0^1(z-2z^2+z^3)\,dz=\dfrac12\left(\dfrac12-\dfrac23+\dfrac14\right)=\dfrac1{24}. \]

Réponse : \(\dfrac1{24}\).

15 Intégrale de Gauss ★★★

Par produit d’intégrales indépendantes, \(I^2=\int e^{-x^2}dx\int e^{-y^2}dy=\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+y^2)}dx\,dy\). En polaires sur le disque de rayon \(R\) : \(\pi(1-e^{-R^2})\xrightarrow[R\to\infty]{}\pi\) (voir le cours). Donc \(I^2=\pi\), et comme \(I>0\), \(I=\sqrt\pi\). Par parité, \(\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt=\dfrac{\sqrt\pi}{2}\).

16 Moment d’inertie d’une boule ★★★

En sphériques, \(x^2+y^2+z^2=\rho^2\) :
\[ \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi\sin\varphi\,d\varphi\int_0^2\rho^2\cdot\rho^2d\rho=2\pi\times2\times\dfrac{32}{5}=\dfrac{128\pi}{5}. \]

Réponse : \(\dfrac{128\pi}{5}\).

17 Volume d’un cône ★★★

En cylindriques, \(r\le z\le3\) avec \(r\in[0,3]\) :
\[ V=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^3\!\!\int_r^3r\,dz\,dr\,d\theta=2\pi\int_0^3r(3-r)\,dr=2\pi\left(\dfrac{27}{2}-9\right)=9\pi. \]
C’est bien un cône de rayon \(R=3\) et de hauteur \(h=3\) : \(\tfrac13\pi\cdot9\cdot3=9\pi\).

Réponse : \(9\pi\).

18 Inertie d’un cylindre ★★★

En cylindriques, \(r\in[0,2]\), \(z\in[0,5]\) : \(\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^5dz\int_0^2r^2\cdot r\,dr=2\pi\times5\times4=40\pi\).

Réponse : \(40\pi\). (Formule générale : \(\dfrac{\pi ha^4}{2}\).)

19 Centre de masse d’une demi-boule ★★★

En sphériques, \(\varphi\in[0,\pi/2]\). Volume : \(2\pi\times1\times\dfrac{R^3}{3}=\dfrac{2\pi R^3}{3}\). Ensuite \(z=\rho\cos\varphi\) :
\[ \iiint_Hz\,dV=2\pi\int_0^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\int_0^R\rho^3d\rho=2\pi\times\dfrac12\times\dfrac{R^4}{4}=\dfrac{\pi R^4}{4}. \]
Donc \(\bar z=\dfrac{\pi R^4/4}{2\pi R^3/3}=\dfrac{3R}{8}\). Pour \(R=4\) : \(\bar z=\dfrac32\).

20 Boule percée par un cylindre ★★★

En cylindriques, \(0\le r\le1\) et \(-\sqrt{4-r^2}\le z\le\sqrt{4-r^2}\) :
\[ V=2\pi\int_0^12\sqrt{4-r^2}\;r\,dr=4\pi\left[-\dfrac13(4-r^2)^{3/2}\right]_0^1=\dfrac{4\pi}{3}\left(8-3\sqrt3\right). \]

Réponse : \(\dfrac{4\pi(8-3\sqrt3)}{3}\approx11{,}75\).

21 Aire d’une ellipse ★★★

Le jacobien vaut \(\begin{vmatrix}3\cos\theta&-3r\sin\theta\\2\sin\theta&2r\cos\theta\end{vmatrix}=6r\), et \(E\) correspond à \(r\in[0,1]\), \(\theta\in[0,2\pi]\). Aire \(=\int_0^{2\pi}\int_0^16r\,dr\,d\theta=6\pi\). Ensuite \(x^2=9r^2\cos^2\theta\) :
\[ \iint_Ex^2=\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta\int_0^154r^3dr=\pi\times\dfrac{54}{4}=\dfrac{27\pi}{2}. \]