Intégrales généralisées et à paramètre : contrôle de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Calculs d’intégrales généralisées / 4 pts

Étudie la convergence et calcule lorsque c’est possible :

1. \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^4}\)
2. \(\displaystyle\int_0^1\frac{dt}{t^{2/3}}\)
3. \(\displaystyle\int_0^{+\infty}t\,e^{-3t}dt\)
4. \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dt}t\)

2 Nature par comparaison / 4 pts

Détermine la nature de :

1. \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{3t+2}{t^4+1}dt\)
2. \(\displaystyle\int_0^1\frac{e^{t}}{\sqrt t}dt\)
3. \(\displaystyle\int_2^{+\infty}\frac{dt}{\sqrt{t^2-1}}\)

3 Convergence absolue et par parties / 3 pts

a) Montre que \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\cos 2t}{t^2}dt\) converge absolument.

b) Montre par intégration par parties que \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\cos2t}{t}dt\) converge.

4 Convergence dominée / 4 pts

Soit \(J_n=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}\left(1-e^{-t/n}\right)dt\) pour \(n\ge1\).

1. Détermine la limite simple de \(g_n(t)=e^{-t}(1-e^{-t/n})\).
2. Trouve une fonction dominante intégrable.
3. Conclus sur \(\lim J_n\).
4. Calcule \(J_n\) explicitement et vérifie.

5 Intégrale à paramètre / 5 pts

Pour \(x>0\), on pose \(F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-xt}\cos t\,dt\).

1. Montre que \(F\) est bien définie.
2. Montre que \(F\) est continue sur \(]0\,;+\infty[\).
3. Calcule \(F(x)\) en considérant la partie réelle de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-(x-i)t}dt\).
4. Montre que \(F\) est \(C^1\), puis déduis \(\displaystyle\int_0^{+\infty}t\,e^{-t}\cos t\,dt\).