Équations différentielles : contrôle de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Équation linéaire d’ordre 1 / 4 pts

Résous le problème de Cauchy \(y' - y = 2t\), \(y(0) = 1\).

1. Donne les solutions de l’équation homogène.
2. Trouve une solution particulière de la forme \(\alpha t + \beta\).
3. Conclus.

2 Équation d’ordre 2 avec second membre / 4 pts

On considère \(y'' - 2y' - 3y = 8e^{t}\).

1. Résous l’équation homogène.
2. Trouve une solution particulière de la forme \(\alpha e^{t}\).
3. Détermine la solution vérifiant \(y(0) = 0\) et \(y'(0) = 0\).

3 Oscillateur amorti / 3 pts

Résous \(y'' + 2y' + 10y = 0\) avec \(y(0) = 2\) et \(y'(0) = 0\), puis donne la limite de \(y\) en \(+\infty\).

4 Système différentiel / 4 pts

Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\).

1. Calcule les valeurs propres et des vecteurs propres de \(A\).
2. Résous \(X' = AX\) avec \(X(0) = (3, 1)\).
3. Quelle est la nature de l’origine ?

5 Équation à variables séparables / 3 pts

Résous \(y' = 1 + y^2\) avec \(y(0) = 0\) et précise l’intervalle maximal de définition.

6 Stabilité en dimension 1 / 2 pts

Soit \(y' = (y-1)(4-y)\). Détermine les équilibres, leur stabilité, et la limite en \(+\infty\) de la solution telle que \(y(0) = 2\).