Prismes, cylindres et volumes : exercices corrigés de maths 4ème à télécharger en PDF

1 Compter faces, arêtes et sommets ★★★

On compte en s’aidant du nombre de côtés de la base.

1. Prisme à base triangulaire : \(2 + 3 = 5\) faces ; \(3 \times 3 = 9\) arêtes ; \(2 \times 3 = 6\) sommets.
2. Prisme à base hexagonale : \(2 + 6 = 8\) faces ; \(3 \times 6 = 18\) arêtes ; \(2 \times 6 = 12\) sommets.
3. Pyramide à base carrée : \(1 + 4 = 5\) faces ; \(4 + 4 = 8\) arêtes ; \(4 + 1 = 5\) sommets.

2 Le volume d’une boîte ★★★

Un pavé droit est un prisme dont la base est un rectangle. Aire de la base : \(30 \times 20 = 600\) cm\(^2\).

\(V = 600 \times 12 = 7\,200\) cm\(^3\).

Le volume de la boîte est \(7\,200\) cm\(^3\).

3 Deux prismes ★★★

1. \(V = \mathcal{B} \times h = 18 \times 7 = 126\) cm\(^3\).
2. Aire de la base : \(\dfrac{6 \times 5}{2} = 15\) cm\(^2\). Puis \(V = 15 \times 8 = 120\) cm\(^3\).

4 Un cylindre simple ★★★

\(V = \pi r^2 h = \pi \times 5^2 \times 10 = 250\pi\) cm\(^3\).

Avec la calculatrice : \(V \approx 785{,}40\) cm\(^3\).

5 Conversions ★★★

1. \(1\) dm\(^3 = 1\) L, donc \(4{,}2\) dm\(^3 = 4{,}2\) L.
2. \(750\) cm\(^3 = 0{,}75\) dm\(^3 = 0{,}75\) L.
3. \(3\) m\(^3 = 3\,000\) dm\(^3 = 3\,000\) L.
4. \(1\) cL \(= 10\) mL \(= 10\) cm\(^3\), donc \(25\) cL \(= 250\) cm\(^3\).

6 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : les deux bases sont des disques de même rayon.
2. Faux : c’est le volume d’un cylindre ; celui du cône est \(\dfrac{1}{3}\pi r^2 h\).
3. Vrai : un litre est la capacité d’un cube de 1 dm d’arête.
4. Faux : elle a 1 base et 4 faces latérales triangulaires, soit 5 faces.

7 Le patron d’un cylindre ★★★

1. La longueur du rectangle est le périmètre d’une base : \(2\pi \times 3 = 6\pi \approx 18{,}85\) cm. Sa largeur est la hauteur : \(8\) cm.
2. \(\mathcal{A}_{\text{lat}} = 6\pi \times 8 = 48\pi \approx 150{,}80\) cm\(^2\).

8 Base en trapèze ★★★

Aire du trapèze : \(\dfrac{(7 + 3) \times 4}{2} = 20\) cm\(^2\).

\(V = 20 \times 9 = 180\) cm\(^3\).

9 Une boîte de conserve ★★★

Le rayon est \(8 \div 2 = 4\) cm.

\(V = \pi \times 4^2 \times 11 = 176\pi \approx 552{,}92\) cm\(^3\).

\(552{,}92\) cm\(^3 \approx 0{,}55\) L, soit environ \(55\) cL.

La capacité de la boîte est d’environ \(0{,}55\) L, soit \(55\) cL.

10 Aire latérale et aire totale ★★★

Périmètre de la base : \(5 + 12 + 13 = 30\) cm. Aire latérale : \(30 \times 20 = 600\) cm\(^2\).

Aire d’une base : \(\dfrac{5 \times 12}{2} = 30\) cm\(^2\).

Aire totale : \(600 + 2 \times 30 = 660\) cm\(^2\).

11 Un aquarium rempli aux quatre cinquièmes ★★★

1. \(V = 60 \times 30 \times 35 = 63\,000\) cm\(^3 = 63\) dm\(^3 = 63\) L.
2. La hauteur d’eau est \(35 \times \dfrac{4}{5} = 28\) cm, donc \(60 \times 30 \times 28 = 50\,400\) cm\(^3 = 50{,}4\) L. On retrouve aussi \(63 \times \dfrac{4}{5} = 50{,}4\) L.

12 Aire totale d’un cylindre ★★★

Aire latérale : \(2\pi \times 6 \times 10 = 120\pi\) cm\(^2\).

Aire des deux bases : \(2 \times \pi \times 6^2 = 72\pi\) cm\(^2\).

Aire totale : \(120\pi + 72\pi = 192\pi \approx 603{,}19\) cm\(^2\).

13 Remplir une piscine ★★★

\(V = 12 \times 5 \times 1{,}5 = 90\) m\(^3 = 90\,000\) L.

Durée : \(90\,000 \div 1\,500 = 60\) heures.

Il faut \(60\) heures, soit \(2\) jours et \(12\) heures.

14 Une pyramide à base rectangulaire ★★★

Aire de la base : \(8 \times 5 = 40\) cm\(^2\).

\(V = \dfrac{1}{3} \times 40 \times 9 = 120\) cm\(^3\).

15 Retrouver le rayon ★★★

\(V = \pi r^2 h\), donc \(300\pi = \pi \times r^2 \times 12\), d’où \(r^2 = \dfrac{300}{12} = 25\).

Le rayon est positif, donc \(r = \sqrt{25} = 5\) cm.

16 Cylindre et cône de même base ★★★

Cylindre : \(V_1 = \pi \times 6^2 \times 10 = 360\pi\) cm\(^3\).

Cône : \(V_2 = \dfrac{1}{3} \times 360\pi = 120\pi\) cm\(^3\).

Différence : \(360\pi - 120\pi = 240\pi \approx 753{,}98\) cm\(^3\).

Le cône occupe le tiers du cylindre, il reste donc les deux tiers.

17 Une base en forme de L ★★★

Aire de la base : on soustrait le coin au grand rectangle : \(10 \times 6 - 4 \times 3 = 60 - 12 = 48\) cm\(^2\).

\(V = 48 \times 5 = 240\) cm\(^3\).

18 Agrandir un solide ★★★

1. Avant : \(3^3 = 27\) cm\(^3\). Après : \(6^3 = 216\) cm\(^3\). Comme \(216 \div 27 = 8\), le volume est multiplié par \(8\).
2. Le nouveau volume est \(\pi (2r)^2 h = 4\pi r^2 h\) : il est multiplié par \(4\).
3. Le nouveau volume est \(\pi r^2 (2h) = 2\pi r^2 h\) : il est multiplié par \(2\).

19 Un tuyau creux ★★★

Volume du grand cylindre : \(\pi \times 5^2 \times 20 = 500\pi\) cm\(^3\).

Volume du vide : \(\pi \times 4^2 \times 20 = 320\pi\) cm\(^3\).

Volume de métal : \(500\pi - 320\pi = 180\pi \approx 565{,}49\) cm\(^3\).

20 Des verres pour une bouteille ★★★

Rayon : \(3\) cm. Volume d’eau : \(\pi \times 3^2 \times 20 = 180\pi \approx 565{,}49\) cm\(^3\).

Un verre de \(25\) cL contient \(250\) cm\(^3\), et \(565{,}49 \div 250 \approx 2{,}26\).

On peut remplir 2 verres complets ; il reste environ \(65{,}5\) cm\(^3\), soit \(6{,}5\) cL.

21 Un tas de sable ★★★

\(V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 1{,}5^2 \times 1{,}2 = \dfrac{1}{3} \times 2{,}7\pi = 0{,}9\pi \approx 2{,}83\) m\(^3\).

\(8 \div 2{,}83 \approx 2{,}83\). On peut charger 2 tas entiers (environ \(5{,}65\) m\(^3\)).