Trigonométrie et Pythagore : exercices corrigés de maths 3ème à télécharger en PDF

1 Vocabulaire ★★★

1. L’angle droit est en \(C\), donc l’hypoténuse est le côté opposé à \(C\) : \([AB]\).
2. Pour l’angle \(\widehat{A}\), le côté adjacent est le côté de l’angle droit qui touche \(A\), c’est \([AC]\) ; le côté opposé est \([BC]\).

2 Écrire Pythagore ★★★

L’hypoténuse est \([MN]\), donc \(MN^2 = MP^2 + NP^2\).

Pour l’angle \(\widehat{M}\) : le côté adjacent est \([MP]\), le côté opposé est \([NP]\). Donc \(\cos\widehat{M} = \dfrac{MP}{MN}\), \(\sin\widehat{M} = \dfrac{NP}{MN}\), \(\tan\widehat{M} = \dfrac{NP}{MP}\).

3 Hypoténuse avec Pythagore ★★★

\(ABC\) est rectangle en \(A\), donc d’après le théorème de Pythagore : \(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 256 + 900 = 1\,156\).

\(BC = \sqrt{1\,156} = 34\) cm.

4 Un côté avec Pythagore ★★★

\(DEF\) est rectangle en \(E\), donc \(DF^2 = DE^2 + EF^2\), soit \(625 = 49 + EF^2\).

\(EF^2 = 625 - 49 = 576\), donc \(EF = \sqrt{576} = 24\) cm.

5 Trois rapports ★★★

L’hypoténuse est \([TU]\). Pour l’angle \(\widehat{T}\) : côté adjacent \([ST] = 8\), côté opposé \([SU] = 15\).

\(\cos\widehat{T} = \dfrac{8}{17}\), \(\sin\widehat{T} = \dfrac{15}{17}\), \(\tan\widehat{T} = \dfrac{15}{8}\).

6 À la calculatrice ★★★

\(\cos 40^\circ \approx 0{,}77\) ; \(\sin 25^\circ \approx 0{,}42\) ; \(\tan 63^\circ \approx 1{,}96\).

7 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : le cosinus est le quotient d’un côté de l’angle droit par l’hypoténuse, qui est plus grande, donc le quotient est inférieur à \(1\).
2. Faux : si le côté opposé est plus grand que le côté adjacent, le quotient dépasse \(1\) ; par exemple \(\tan 60^\circ \approx 1{,}73\).
3. Vrai : \(10^2 = 100\) et \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), donc le triangle est rectangle d’après la réciproque de Pythagore.

8 Longueur avec le cosinus ★★★

\(KM\) est l’hypoténuse et \([KL]\) le côté adjacent à l’angle de \(41^\circ\) : on utilise le cosinus.

\(\cos 41^\circ = \dfrac{KL}{KM}\), donc \(KL = 20 \times \cos 41^\circ \approx 15{,}09\) cm.

9 Longueur avec le sinus ★★★

\([RT]\) est le côté opposé à l’angle de \(27^\circ\) et \([ST]\) l’hypoténuse : on utilise le sinus.

\(\sin 27^\circ = \dfrac{RT}{ST}\), donc \(RT = 18 \times \sin 27^\circ \approx 8{,}17\) cm.

10 Longueur avec la tangente ★★★

\([UV]\) est le côté adjacent et \([VW]\) le côté opposé à l’angle de \(29^\circ\) : on utilise la tangente.

\(\tan 29^\circ = \dfrac{VW}{UV}\), donc \(VW = 9 \times \tan 29^\circ \approx 4{,}99\) cm.

11 Calculer l’hypoténuse ★★★

\([AB]\) est le côté adjacent à l’angle \(\widehat{B}\) et \([BC]\) l’hypoténuse : on utilise le cosinus.

\(\cos 64^\circ = \dfrac{AB}{BC}\), donc \(BC = \dfrac{5{,}5}{\cos 64^\circ} \approx 12{,}55\) cm.

12 Un angle avec le sinus ★★★

On connaît le côté opposé et l’hypoténuse : sinus. \(\sin\alpha = \dfrac{7}{12}\), donc \(\alpha = \sin^{-1}\left(\dfrac{7}{12}\right) \approx 35{,}7^\circ\).

13 Un angle avec la tangente ★★★

Le côté opposé mesure \(8\) et le côté adjacent \(15\) : \(\tan\alpha = \dfrac{8}{15}\), donc \(\alpha = \tan^{-1}\left(\dfrac{8}{15}\right) \approx 28{,}1^\circ\).

Les angles aigus sont complémentaires : \(90 - 28{,}1 = 61{,}9\), donc l’autre angle mesure environ \(61{,}9^\circ\).

14 Pythagore puis angle ★★★

D’après Pythagore, \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 100 + 576 = 676\), donc \(AC = 26\) cm.

Pour \(\widehat{BAC}\), \([AB]\) est adjacent et \([AC]\) est l’hypoténuse : \(\cos\widehat{BAC} = \dfrac{10}{26}\), donc \(\widehat{BAC} \approx 67{,}4^\circ\).

15 Cosinus, sinus, tangente ★★★

On sait que \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\), donc \(\cos^2 x = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}\).

Comme \(x\) est aigu, \(\cos x > 0\) et \(\cos x = \dfrac{12}{13}\). Puis \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{5}{13} \times \dfrac{13}{12} = \dfrac{5}{12}\).

16 La rampe d’accès ★★★

La rampe est l’hypoténuse. La hauteur est le côté opposé à l’angle de \(8^\circ\) : \(h = 5 \times \sin 8^\circ \approx 0{,}70\) m.

La distance horizontale est le côté adjacent : \(d = 5 \times \cos 8^\circ \approx 4{,}95\) m.

La rampe gagne environ \(0{,}70\) m de hauteur sur \(4{,}95\) m horizontaux.

17 Hauteur d’un arbre ★★★

Le chêne est vertical et le sol horizontal : le triangle est rectangle. La hauteur \(h\) est le côté opposé à l’angle de \(35^\circ\), l’ombre est le côté adjacent.

\(\tan 35^\circ = \dfrac{h}{12}\), donc \(h = 12 \times \tan 35^\circ \approx 8{,}4\) m.

Le chêne mesure environ \(8{,}4\) m.

18 L’échelle du jardinier ★★★

Dans le triangle rectangle formé, l’échelle est l’hypoténuse et la distance au mur est le côté adjacent à \(\alpha\) : \(\cos\alpha = \dfrac{1{,}1}{4{,}2}\), donc \(\alpha \approx 74{,}8^\circ\).

Hauteur, par Pythagore : \(h^2 = 4{,}2^2 - 1{,}1^2 = 17{,}64 - 1{,}21 = 16{,}43\), donc \(h = \sqrt{16{,}43} \approx 4{,}05\) m.

L’échelle fait environ \(74{,}8^\circ\) avec le sol et atteint \(4{,}05\) m de hauteur.

19 Triangle isocèle ★★★

Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi médiane : \(BH = 8\) cm. Dans \(ABH\), rectangle en \(H\) : \(AH^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225\), donc \(AH = 15\) cm.

\(\cos\widehat{ABC} = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{8}{17}\), donc \(\widehat{ABC} \approx 61{,}9^\circ\).

Les angles à la base sont égaux et la somme des angles vaut \(180^\circ\) : \(\widehat{BAC} = 180 - 2 \times 61{,}93 \approx 56{,}1^\circ\).

20 Le phare ★★★

Dans le triangle rectangle de sommet \(B\) : \(\tan 25^\circ = \dfrac{h}{80}\), donc \(h = 80 \times \tan 25^\circ \approx 37{,}3\) m.

Dans le triangle rectangle de sommet \(C\) : \(\tan 40^\circ = \dfrac{h}{PC}\), donc \(PC = \dfrac{h}{\tan 40^\circ} \approx 44{,}5\) m (calcul fait avec la valeur non arrondie de \(h\)).

Le bateau a parcouru \(BC = 80 - 44{,}5 \approx 35{,}5\) m.

21 Rectangle de diagonale 10 ★★★

Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\), avec \(AC = 10\) pour hypoténuse.

\(AB = 10 \times \cos 30^\circ \approx 8{,}66\) cm et \(BC = 10 \times \sin 30^\circ = 5\) cm.

Aire : \(8{,}66 \times 5 \approx 43{,}30\) cm² (exactement \(25\sqrt{3}\) cm²).

22 Un triangle rectangle ? ★★★

Le plus grand côté est \([BC]\) : \(BC^2 = 1\,225\) et \(AB^2 + AC^2 = 441 + 784 = 1\,225\). D’après la réciproque de Pythagore, \(ABC\) est rectangle en \(A\).

\(\sin\widehat{B} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{28}{35} = 0{,}8\), donc \(\widehat{B} \approx 53{,}1^\circ\).

Les angles aigus sont complémentaires : \(\widehat{C} = 90 - 53{,}13 \approx 36{,}9^\circ\).