Complexes et polynômes : corrigé du contrôle de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Forme trigonométrique / 3 pts

1. \(|z| = \sqrt{3 + 1} = 2\) ; \(\cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin\theta = -\dfrac{1}{2}\), donc \(\theta = -\dfrac{\pi}{6}\) (1 pt).
2. \(z = 2e^{-i\pi/6}\) (1 pt).
3. \(z^6 = 64\,e^{-i\pi} = -64\) (1 pt).

2 Racines cubiques / 3 pts

\(-27 = 27e^{i\pi}\), donc \(z_k = 3e^{i(\pi + 2k\pi)/3}\) (1 pt).

\(z_0 = 3e^{i\pi/3} = \dfrac{3}{2} + i\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\), \(z_1 = 3e^{i\pi} = -3\), \(z_2 = 3e^{i5\pi/3} = \dfrac{3}{2} - i\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\) (2 pts).

3 Division euclidienne / 3 pts

1. \(X^2 \times (X^2 + X - 1) = X^4 + X^3 - X^2\) ; il reste \(X^3 + X^2 - X + 3\). Puis \(X \times (X^2 + X - 1) = X^3 + X^2 - X\) ; il reste \(3\). Donc \(Q = X^2 + X\) et \(R = 3\) (2 pts).
2. Le reste est \(A(2) = 16 + 16 - 2 + 3 = 33\) (1 pt).

4 Racine double / 3 pts

1. \(P(2) = 8 - 12 + 4 = 0\) ; \(P' = 3X^2 - 6X\), \(P'(2) = 12 - 12 = 0\) ; \(P'' = 6X - 6\), \(P''(2) = 6 \neq 0\) : racine double (2 pts).
2. \((X - 2)^2 = X^2 - 4X + 4\) divise \(P\), et \(P = (X - 2)^2(X + 1)\) (1 pt).

5 PGCD / 3 pts

\(A = B + (2X^2 - 2)\) (1 pt). Le reste est \(2(X^2 - 1)\). Puis \(B = (X^2 - 1)(X - 1)\), reste nul (1 pt).

Le PGCD est \(X^2 - 1\) (1 pt).

6 Facteurs irréductibles / 2 pts

Sur \(\mathbb{R}\) : \(X^4 - 16 = (X - 2)(X + 2)(X^2 + 4)\) (1 pt). Sur \(\mathbb{C}\) : \(X^2 + 4 = (X - 2i)(X + 2i)\), donc \((X - 2)(X + 2)(X - 2i)(X + 2i)\) (1 pt).

7 Fraction rationnelle / 3 pts

\(F = \dfrac{a}{X - 1} + \dfrac{b}{X + 2}\) (1 pt). \(a = \dfrac{4 - 1}{1 + 2} = 1\) et \(b = \dfrac{-8 - 1}{-2 - 1} = 3\) (1 pt).

\(F = \dfrac{1}{X - 1} + \dfrac{3}{X + 2}\). Contrôle : \((X + 2) + 3(X - 1) = 4X - 1\) (1 pt).