Multiplication de fractions : exercices corrigés de maths 5ème à télécharger en PDF

1 Produits simples ★★★

1. \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 5} = \dfrac{8}{15}\).
2. \(\dfrac{3}{7} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{63} = \dfrac{2}{21}\) (on simplifie par 3).
3. \(\dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{24}\).
4. \(\dfrac{7}{10} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{21}{80}\), fraction déjà irréductible.

2 Entier fois fraction ★★★

1. \(6 \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{6}{5}\).
2. \(3 \times \dfrac{4}{7} = \dfrac{12}{7}\).
3. \(5 \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{10}{9}\).
4. \(8 \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{24}{10} = \dfrac{12}{5}\) (simplifié par 2).

3 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : \(2 \times 3 = 6\) et \(5 \times 4 = 20\).
2. Faux : le dénominateur ne se multiplie pas par l’entier. \(\dfrac{2}{3} \times 5 = \dfrac{10}{3}\).
3. Faux : on multiplie les dénominateurs, pas on les additionne. \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\).
4. Vrai : \(4 \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\).

4 Simplifier le résultat ★★★

1. \(\dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}\).
2. \(\dfrac{12}{72} = \dfrac{1}{6}\).
3. \(\dfrac{30}{300} = \dfrac{1}{10}\).
4. \(\dfrac{70}{105} = \dfrac{2}{3}\) (on simplifie par 35).

5 Fraction d’un nombre ★★★

1. \(\dfrac{2}{5} \times 35 = 2 \times 7 = 14\).
2. \(\dfrac{3}{4} \times 28 = 3 \times 7 = 21\).
3. \(\dfrac{5}{6} \times 42 = 5 \times 7 = 35\).
4. \(\dfrac{7}{10} \times 60 = 7 \times 6 = 42\).

6 Premiers inverses ★★★

1. \(\dfrac{5}{3}\).
2. \(\dfrac{1}{8}\).
3. 9, car \(\dfrac{1}{9} \times 9 = 1\).
4. \(\dfrac{4}{11}\).
5. \(0{,}5 = \dfrac{1}{2}\), donc l’inverse est 2.
6. 0 n’a pas d’inverse : aucun nombre multiplié par 0 ne donne 1.

7 Dans la cuisine ★★★

1. \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{8}\). Il faut \(\dfrac{3}{8}\) kg de farine, soit 0,375 kg.
2. \(3 \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{4}\). Il faut \(\dfrac{9}{4}\) kg, soit 2,25 kg de farine.

8 Facteurs manquants ★★★

1. Le numérateur \(3 \times 1 = 3\) convient déjà. Le dénominateur vérifie \(4 \times ? = 20\), donc \(? = 5\) : la fraction est \(\dfrac{1}{5}\).
2. Au numérateur, \(? \times 2 = 10\), donc \(? = 5\). Au dénominateur, \(7 \times 3 = 21\). Vérification : \(\dfrac{5}{7} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{21}\).
3. Le numérateur du produit est \(5 \times 4 = 20\) ; il faut que \(\dfrac{20}{8 \times ?} = \dfrac{5}{14}\), soit \(8 \times ? = 56\) et \(? = 7\). Vérification : \(\dfrac{5}{8} \times \dfrac{4}{7} = \dfrac{20}{56} = \dfrac{5}{14}\).

9 Simplifier avant de multiplier ★★★

1. \(\dfrac{12 \times 25}{35 \times 18} = \dfrac{2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5}{5 \times 7 \times 2 \times 3 \times 3} = \dfrac{2 \times 5}{7 \times 3} = \dfrac{10}{21}\).
2. \(\dfrac{18 \times 14}{35 \times 27} = \dfrac{2 \times 9 \times 2 \times 7}{5 \times 7 \times 3 \times 9} = \dfrac{2 \times 2}{5 \times 3} = \dfrac{4}{15}\).
3. \(\dfrac{16 \times 15}{45 \times 32}\) : \(\dfrac{15}{45} = \dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{16}{32} = \dfrac{1}{2}\), donc le résultat est \(\dfrac{1}{6}\).
4. \(8 \times \dfrac{7}{12} = \dfrac{8 \times 7}{12}\) ; en simplifiant 8 et 12 par 4 : \(\dfrac{2 \times 7}{3} = \dfrac{14}{3}\).

10 Fraction d’une fraction ★★★

1. \(\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}\).
2. \(\dfrac{2}{5} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}\).
3. \(\dfrac{3}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}\).

11 Aires de surfaces ★★★

1. Aire = longueur \(\times\) largeur \(= \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}\). L’aire du rectangle est \(\dfrac{3}{10}\) m², soit 0,3 m².
2. Aire du carré = côté \(\times\) côté \(= \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}\) m².
3. On compare avec le dénominateur 90 : \(\dfrac{3}{10} = \dfrac{27}{90}\) et \(\dfrac{4}{9} = \dfrac{40}{90}\). Comme \(40 > 27\), c’est le carré qui a la plus grande aire.

12 Inverses et produit ★★★

1. \(x\) est l’inverse de \(\dfrac{7}{4}\) : \(x = \dfrac{4}{7}\).
2. \(\dfrac{5}{6} \times \dfrac{6}{5} = \dfrac{30}{30} = 1\).
3. \(0{,}2 = \dfrac{1}{5}\), donc son inverse est 5.
4. L’inverse de \(\dfrac{4}{5}\) est \(\dfrac{5}{4} = 1{,}25\). Oui, 1,25 est l’inverse de \(\dfrac{4}{5}\).

13 Le trail du dimanche ★★★

1. \(\dfrac{3}{8} \times 24 = 3 \times 3 = 9\). Elle court 9 km avant la pause.
2. \(24 - 9 = 15\). Il reste 15 km.
3. \(\dfrac{2}{5} \times 15 = 2 \times 3 = 6\). Elle court 6 km de plus.
4. Au total, elle a couru \(9 + 6 = 15\) km sur 24, soit \(\dfrac{15}{24} = \dfrac{5}{8}\) du parcours.

14 Vrai ou faux argumenté ★★★

1. Vrai : prendre la moitié d’un nombre, c’est le diviser par 2 ; par exemple \(\dfrac{1}{2} \times 10 = 5\).
2. Vrai : par exemple \(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\), plus petit que \(\dfrac{1}{2}\) et que \(\dfrac{1}{3}\).
3. Vrai : on multiplie \(\dfrac{5}{2}\) par \(\dfrac{3}{4}\), qui est inférieur à 1. Le résultat est \(\dfrac{15}{8}\), plus petit que \(\dfrac{20}{8}\).
4. Faux : multiplier par \(\dfrac{1}{3}\) fait diminuer un nombre positif ; seul le facteur supérieur à 1 le fait grossir.

15 Au collège ★★★

1. \(\dfrac{5}{8} \times 480 = 5 \times 60 = 300\) élèves demi-pensionnaires.
2. \(\dfrac{2}{5} \times 300 = 2 \times 60 = 120\) élèves mangent le menu végétarien.
3. La fraction des élèves du collège est \(\dfrac{2}{5} \times \dfrac{5}{8} = \dfrac{10}{40} = \dfrac{1}{4}\). Puis \(\dfrac{1}{4} \times 480 = 120\) : on retrouve bien 120 élèves.

16 Produits de trois fractions ★★★

1. \(\dfrac{2 \times 9 \times 5}{3 \times 10 \times 6} = \dfrac{90}{180} = \dfrac{1}{2}\). En simplifiant d’abord : \(\dfrac{2}{10}\) vaut \(\dfrac{1}{5}\), \(\dfrac{9}{3} = 3\), \(\dfrac{5}{6}\) : on obtient \(\dfrac{1 \times 3 \times 5}{5 \times 6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\).
2. \(\dfrac{4 \times 21 \times 2}{7 \times 8 \times 3} = \dfrac{168}{168} = 1\).
3. \(\dfrac{3 \times 5 \times 6}{9 \times 25} = \dfrac{90}{225} = \dfrac{2}{5}\).

17 Le nombre mystère ★★★

On cherche \(x\) tel que \(\dfrac{5}{6} \times x = \dfrac{5}{9}\). On multiplie les deux membres par l’inverse de \(\dfrac{5}{6}\), c’est-à-dire \(\dfrac{6}{5}\) : \(x = \dfrac{5}{9} \times \dfrac{6}{5} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}\).

Vérification : \(\dfrac{5}{6} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{18} = \dfrac{5}{9}\). Le nombre mystère est \(\dfrac{2}{3}\).

18 Le bassin du jardin ★★★

1. \(\dfrac{1}{6} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}\). Le quart du bassin est rempli.
2. \(\dfrac{1}{4} \times 2\,400 = 600\). Cela représente 600 L.
3. \(4 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\) du bassin.
4. Chaque heure, \(\dfrac{1}{6}\) du bassin se remplit : il faut \(6 \times \dfrac{1}{6} = 1\), donc 6 heures.

19 Trouve l’erreur ★★★

1. Faux : Inès a gardé un seul des deux dénominateurs. Il faut multiplier les dénominateurs : \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{15}\).
2. Faux : Hugo a multiplié aussi le dénominateur par 3. Seul le numérateur est multiplié : \(3 \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{6}{7}\).
3. Juste : \(5 \times 3 = 15\), \(6 \times 10 = 60\), et \(\dfrac{15}{60} = \dfrac{1}{4}\).

20 Un long trajet ★★★

1. \(\dfrac{2}{9} \times 360 = 2 \times 40 = 80\) km.
2. \(360 - 80 = 280\) km.
3. \(\dfrac{3}{8} \times 280 = 3 \times 35 = 105\) km.
4. Il reste \(280 - 105 = 175\) km, soit \(\dfrac{175}{360} = \dfrac{35}{72}\) du trajet.

21 La balle rebondissante ★★★

1. 1er rebond : \(\dfrac{3}{5} \times 2 = \dfrac{6}{5}\) m. 2ème rebond : \(\dfrac{3}{5} \times \dfrac{6}{5} = \dfrac{18}{25}\) m. 3ème rebond : \(\dfrac{3}{5} \times \dfrac{18}{25} = \dfrac{54}{125}\) m.
2. En mètres, ces hauteurs valent 1,2 ; 0,72 ; 0,432. Au 4ème rebond : \(\dfrac{3}{5} \times \dfrac{54}{125} = \dfrac{162}{625} = 0{,}2592\) m, soit environ 26 cm, ce qui est inférieur à 30 cm. Comme 43,2 cm dépasse encore 30 cm au 3ème rebond, c’est à partir du 4ème rebond.