Calcul littéral : exercices corrigés de maths 4ème à télécharger en PDF

1 Traduire en expression ★★★

1. \(3x + 7\).
2. On calcule d’abord \(x - 4\), puis on multiplie ce résultat par \(5\) : \(5(x - 4)\).
3. L’aire d’un carré est « côté fois côté » : \(a \times a = a^2\).
4. \(\dfrac{n}{2}\).

2 Substituer une valeur ★★★

Pour \(x = 3\) : \(4 \times 3 - 7 = 12 - 7 = 5\).

Pour \(x = 0\) : \(4 \times 0 - 7 = -7\).

Pour \(x = -2\) : \(4 \times (-2) - 7 = -8 - 7 = -15\).

Pour \(x = 2{,}5\) : \(4 \times 2{,}5 - 7 = 10 - 7 = 3\).

3 Avec un carré ★★★

Pour \(x = 5\) : \(5^2 + 3 \times 5 = 25 + 15 = 40\).

Pour \(x = -4\) : \((-4)^2 + 3 \times (-4) = 16 - 12 = 4\).

Pour \(x = 0{,}5\) : \(0{,}5^2 + 3 \times 0{,}5 = 0{,}25 + 1{,}5 = 1{,}75\).

4 Réduire ★★★

1. \(7a + 2a = 9a\).
2. \(9b - 4b + b = 5b + b = 6b\).
3. \((3x + 2x) + (5 - 1) = 5x + 4\).
4. \((8y - 8y) + (-3 + 10) = 0 + 7 = 7\).

5 Développer simplement ★★★

\(5(x + 3) = 5x + 15\).

\(2(4y - 1) = 8y - 2\).

\(7(a + b - 2) = 7a + 7b - 14\).

6 Factoriser simplement ★★★

\(4x + 12 = 4 \times x + 4 \times 3 = 4(x + 3)\).

\(9y - 6 = 3 \times 3y - 3 \times 2 = 3(3y - 2)\).

\(5a + 5b = 5(a + b)\).

7 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux : pour \(x = 2\), on a \(6 + 8 = 14\) mais \(7 \times 2^2 = 28\). En réalité \(3x + 4x = 7x\).
2. Vrai : c’est la distributivité simple.
3. Faux : pour \(x = 3\), on a \(3 + 3 = 6\) mais \(3^2 = 9\). En réalité \(x + x = 2x\).
4. Vrai : \(5x - x = 5x - 1x = 4x\).

8 Périmètre d’un rectangle ★★★

1. \(P = 2 \times (x + 4) + 2 \times x = 2x + 8 + 2x = 4x + 8\).
2. Pour \(x = 6\) : \(P = 4 \times 6 + 8 = 32\) cm. Vérification : \(2 \times 10 + 2 \times 6 = 32\).

9 Réduction avec des carrés ★★★

On regroupe les termes de même nature : \((3x^2 - x^2) + (5x - 4x) + (2 + 6) = 2x^2 + x + 8\).

10 Développer avec des signes ★★★

\(-3(2x - 5) = -6x + 15\).

\(4(3 - 2y) = 12 - 8y\).

\(-(x - 7) = -x + 7\).

\(x(x + 6) = x^2 + 6x\).

11 Factoriser avec une lettre ★★★

\(15x + 10 = 5 \times 3x + 5 \times 2 = 5(3x + 2)\).

\(6x^2 - 9x = 3x \times 2x - 3x \times 3 = 3x(2x - 3)\).

\(14a - 21 = 7 \times 2a - 7 \times 3 = 7(2a - 3)\).

12 Un programme de calcul ★★★

1. \(\dfrac{4x + 6}{2} = 2x + 3\).
2. Pour \(x = 5\) : \(2 \times 5 + 3 = 13\).
3. On cherche \(x\) tel que \(2x + 3 = 21\), donc \(2x = 18\) et \(x = 9\). Vérification : \(4 \times 9 + 6 = 42\) et \(42 \div 2 = 21\).

13 Deux tarifs de cinéma ★★★

1. Pour \(n = 1\) : \(9\) € contre \(8 + 5 = 13\) €. Pour \(n = 2\) : \(18\) € contre \(8 + 10 = 18\) €. Pour \(n = 5\) : \(45\) € contre \(8 + 25 = 33\) €. Pour \(n = 10\) : \(90\) € contre \(8 + 50 = 58\) €.
2. Avec \(2\) séances les prix sont égaux. Pour \(n = 3\) : \(27\) € contre \(8 + 15 = 23\) €. Chaque séance supplémentaire creuse l’écart de \(4\) €. La carte est donc la moins chère à partir de 3 séances.

14 Première double distributivité ★★★

\((x + 2)(x + 5) = x^2 + 5x + 2x + 10 = x^2 + 7x + 10\).

\((y + 4)(y - 3) = y^2 - 3y + 4y - 12 = y^2 + y - 12\).

\((a - 1)(a - 6) = a^2 - 6a - a + 6 = a^2 - 7a + 6\).

15 Aire d’un terrain ★★★

1. \((x + 5)(x + 1) = x^2 + x + 5x + 5 = x^2 + 6x + 5\). On retrouve les quatre morceaux de la figure : \(x^2\), \(5x\), \(x\) et \(5\).
2. Pour \(x = 4\) : \((4 + 5)(4 + 1) = 9 \times 5 = 45\) et \(4^2 + 6 \times 4 + 5 = 16 + 24 + 5 = 45\). Les deux résultats sont égaux.

16 Développer et réduire ★★★

\((2x + 3)(x - 4) = 2x^2 - 8x + 3x - 12 = 2x^2 - 5x - 12\).

\((3a - 2)(2a + 5) = 6a^2 + 15a - 4a - 10 = 6a^2 + 11a - 10\).

\((x - 5)(x + 5) = x^2 + 5x - 5x - 25 = x^2 - 25\).

17 Deux produits à combiner ★★★

\(A = 3x + 6 - 2x + 8 = x + 14\) (attention : \(-2 \times (-4) = +8\)).

\(B = x^2 + x + 3x + 3 + 2x^2 - 10x = 3x^2 - 6x + 3\).

18 Calculer astucieusement ★★★

\(17 \times 13 + 17 \times 7 = 17 \times (13 + 7) = 17 \times 20 = 340\).

\(3{,}6 \times 47 + 3{,}6 \times 53 = 3{,}6 \times (47 + 53) = 3{,}6 \times 100 = 360\).

\(25 \times 98 = 25 \times (100 - 2) = 2500 - 50 = 2450\).

19 Qui a raison ? ★★★

1. Pour \(x = 0\) : \(4^2 = 16\) et \(0 + 16 = 16\), l’égalité marche, mais cela ne prouve rien. Pour \(x = 1\) : \(5^2 = 25\) et \(1 + 16 = 17\). Comme \(25 \neq 17\), l’égalité est fausse : un contre-exemple suffit. (En réalité \((x + 4)(x + 4) = x^2 + 4x + 4x + 16 = x^2 + 8x + 16\).)
2. Pour \(x = 0\) : \(2 \times (-3) = -6\) et \(0 - 0 - 6 = -6\) ; pour \(x = 1\) : \(3 \times (-2) = -6\) et \(1 - 1 - 6 = -6\) ; pour \(x = 2\) : \(4 \times (-1) = -4\) et \(4 - 2 - 6 = -4\). Trois essais réussis ne suffisent pas à prouver l’égalité. On développe : \((x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6\). Hugo a raison.

20 Un carré transformé en rectangle ★★★

1. Le rectangle a pour côtés \((x + 3)\) et \((x - 2)\) : \(A = (x + 3)(x - 2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6\).
2. La différence avec l’aire du carré \(x^2\) est \(x^2 + x - 6 - x^2 = x - 6\). Pour \(x = 10\) : le rectangle mesure \(13 \times 8 = 104\) cm² et le carré \(100\) cm², soit \(4\) cm² de plus, et \(10 - 6 = 4\).
3. Les aires sont égales quand \(x - 6 = 0\), c’est-à-dire pour \(x = 6\) : \(9 \times 4 = 36 = 6^2\).