Systèmes de deux équations : corrigé du contrôle de maths 3ème à télécharger en PDF

1 Tester des couples / 3 pts

1. \(3 \times 2 - (-1) = 7\) (0,5 pt) et \(2 + 2 \times (-1) = 0\) (0,5 pt) : les deux équations sont vraies, c’est une solution (0,5 pt).
2. \(3 \times 1 - (-4) = 7\) (0,5 pt), mais \(1 + 2 \times (-4) = -7 \neq 0\) (0,5 pt) : ce n’est pas une solution (0,5 pt).

2 Substitution / 3 pts

On remplace \(x\) dans la seconde équation : \(3(2y - 1) + 4y = 17\) (1 pt).

\(6y - 3 + 4y = 17\), donc \(10y = 20\) et \(y = 2\) (1 pt).

Puis \(x = 2 \times 2 - 1 = 3\). Vérification : \(3 \times 3 + 4 \times 2 = 17\). La solution est \((3\,;\,2)\) (1 pt).

3 Combinaison / 4 pts

On multiplie la première équation par \(2\) et la seconde par \(3\) : \(4x + 6y = 10\) et \(15x + 6y = 54\) (1 pt).

On soustrait : \(11x = 44\), donc \(x = 4\) (1,5 pt).

Dans la première équation : \(8 + 3y = 5\), donc \(y = -1\) (1 pt). Vérification : \(5 \times 4 + 2 \times (-1) = 18\). La solution est \((4\,;\,-1)\) (0,5 pt).

4 Résolution graphique / 3 pts

1. Les droites se coupent au point de coordonnées \((4\,;\,2)\) (1 pt).
2. \(4 + 2 = 6\) (1 pt) et \(4 - 2 = 2\) (1 pt) : le couple \((4\,;\,2)\) est bien la solution.

5 Sans solution ? / 2 pts

On multiplie la seconde équation par \(2\) : \(2x - 4y = 10\) (1 pt).

Or la première équation donne \(2x - 4y = 3\). Comme \(10 \neq 3\), les équations se contredisent : le système n’a aucune solution (1 pt).

6 Le parc d’attractions / 5 pts

Soit \(a\) le prix d’un billet adulte et \(e\) celui d’un billet enfant, en euros (1 pt).

Le système est \(\begin{cases} 4a + 5e = 61 \\ 6a + 2e = 64 \end{cases}\) (1 pt).

On divise la seconde équation par \(2\) : \(3a + e = 32\), donc \(e = 32 - 3a\). On remplace : \(4a + 5(32 - 3a) = 61\), soit \(4a + 160 - 15a = 61\), donc \(-11a = -99\) et \(a = 9\) (2 pts).

Puis \(e = 32 - 27 = 5\). Vérification : \(6 \times 9 + 2 \times 5 = 64\).

Un billet adulte coûte \(9\) € et un billet enfant \(5\) € (1 pt).