Généralités sur les fonctions : corrigé du contrôle de maths 2de

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Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.

Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice autorisée seulement quand l’énoncé le précise.

Sommaire

\(f(-1) = -1 - 4 - 1 = -6\) et \(f(2) = -4 + 8 - 1 = 3\). (1 pt)
\(-x^2 + 4x - 1 = -1\) donne \(-x^2 + 4x = 0\), soit \(x(4 - x) = 0\). Les antécédents de \(-1\) sont \(0\) et \(4\). (1 pt)
\(f(3) = -9 + 12 - 1 = 2\), donc \(A\) appartient à la courbe. (1 pt)
\(f(1) = -1 + 4 - 1 = 2 \neq 3\), donc \(B\) n’appartient pas à la courbe. (1 pt)

\(2x - 6 \neq 0\) équivaut à \(x \neq 3\) : \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}\). (1 pt)
\(3x + 9 \geqslant 0\) équivaut à \(x \geqslant -3\) : \(D_g = [-3 \,;\, +\infty[\). (1 pt)
\(x^2 + 1 \geqslant 1 > 0\), le dénominateur ne s’annule jamais : \(D_h = \mathbb{R}\). (1 pt)

On lit \(q(0) = 3\) et \(q(2) = -2\). (1 pt)
La courbe coupe l’axe des abscisses en \(-2\), \(1\) et \(3\) : \(S = \{-2 \,;\, 1 \,;\, 3\}\). (1 pt)
La courbe est au-dessus ou sur l’axe pour \(x \in [-2 \,;\, 1]\) et pour \(x \in [3 \,;\, 3{,}5]\) : \(S = [-2 \,;\, 1] \cup [3 \,;\, 3{,}5]\). (1,5 pt)
Oui : l’horizontale \(y = -4\) coupe la courbe (près de \(x = -2{,}4\)), car la courbe atteint \(-4{,}8\) en \(-2{,}5\). (0,5 pt)

\(f(x) = 8 + 3x\) et \(g(x) = 5x\). Valeurs : pour \(x = 0, 2, 4, 6, 8\), \(f\) vaut \(8, 14, 20, 26, 32\) et \(g\) vaut \(0, 10, 20, 30, 40\). (1 pt)
\(8 + 3x = 5x\) donne \(2x = 8\), donc \(x = 4\). Pour \(4\) heures, les deux tarifs coûtent \(20\) €. (1 pt)
Pour \(3\) heures (moins de \(4\)), \(f(3) = 17\) € et \(g(3) = 15\) € : le tarif B est moins cher. (1 pt)

Le côté parallèle au mur mesure \(40 - 2x\) mètres, donc \(A(x) = x(40 - 2x)\). (1 pt)
\(A(0) = 0\), \(A(5) = 5 \times 30 = 150\), \(A(10) = 10 \times 20 = 200\), \(A(15) = 15 \times 10 = 150\), \(A(20) = 0\). (1 pt)
\(A(5) = 150\) et \(A(15) = 150\) d’après le tableau, donc \(5\) et \(15\) sont des antécédents de \(150\). (1 pt)
\(200 - 2(x - 10)^2 = 200 - 2x^2 + 40x - 200 = -2x^2 + 40x = x(40 - 2x)\). Comme \((x - 10)^2 \geqslant 0\), on a \(A(x) \leqslant 200\), avec égalité pour \(x = 10\). Le maximum est \(200\) m², atteint pour \(x = 10\) m. (1 pt)

Faux : on ne peut pas diviser par \(0\), donc \(0\) n’appartient pas à l’ensemble de définition et n’a pas d’image. (1 pt)
Vrai : \(f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 - 1 = 2 - 1 = 1\). (1 pt)