Nombres et ensembles de nombres : corrigé du contrôle de maths 2de à télécharger en PDF

1 Plus petit ensemble / 3 pts

a) \(\mathbb{Z}\) : entier négatif (0,5 pt). b) \(\mathbb{D}\) : \(0{,}0375 = \dfrac{375}{10\,000}\) (0,5 pt). c) \(\dfrac{14}{6} = \dfrac{7}{3}\), dénominateur avec facteur \(3\) : \(\mathbb{Q}\) (0,5 pt).

d) \(20\) n’est pas un carré parfait : \(\sqrt{20}\) est irrationnel, donc \(\mathbb{R}\) (0,5 pt). e) \(\dfrac{18}{3} = 6\) : \(\mathbb{N}\) (0,5 pt). f) \(2\pi\) est irrationnel : \(\mathbb{R}\) (0,5 pt).

2 Intervalles / 3 pts

1) \(A \cap B = ]-1\,;\,1[\) (1 pt). 2) \(A \cup B = [-4\,;\,6]\) (1 pt).

3) Les entiers de \(]-1\,;\,1[\) : seul \(0\), car \(-1\) et \(1\) sont exclus (1 pt).

3 Valeur absolue / 4 pts

1) \(|-8{,}5| = 8{,}5\) (0,5 pt) ; \(|2 - 7| = |-5| = 5\) (0,5 pt) ; \(\sqrt{2} < 2\) donc \(\sqrt{2} - 2 < 0\) et \(|\sqrt{2} - 2| = 2 - \sqrt{2}\) (0,5 pt).

2) Distance \(3\) de \(4\) : \(x = 1\) ou \(x = 7\), \(S = \{1\,;\,7\}\) (1 pt).

3) \(|x + 1| = |x - (-1)| \le 2\) équivaut à \(-1 - 2 \le x \le -1 + 2\), soit \(S = [-3\,;\,1]\) (1,5 pt).

4 Calculs fractionnaires / 4 pts

A : \(\dfrac{9}{12} - \dfrac{8}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\) (1 pt).

B : \(\dfrac{5}{6} \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}\) (1,5 pt).

C : \(1 - \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}\), puis \(\dfrac{5}{7} \times \dfrac{14}{3} = \dfrac{70}{21} = \dfrac{10}{3}\) (1,5 pt).

5 Décimal ou non ? / 3 pts

1) Posons \(x = 0{,}7272\dots\) : \(100x - x = 72\), donc \(x = \dfrac{72}{99} = \dfrac{8}{11}\) (1,5 pt).

2) \(\dfrac{13}{40}\) est irréductible et \(40 = 2^3 \times 5\) : c’est un décimal (1 pt), \(\dfrac{13}{40} = \dfrac{325}{1000} = 0{,}325\) (0,5 pt).

6 Encadrements / 3 pts

1) \(5 \le x + y \le 5{,}2\) car \(4{,}2 + 0{,}8 = 5\) et \(4{,}3 + 0{,}9 = 5{,}2\) (1 pt).

2) \(4{,}2 - 0{,}9 \le x - y \le 4{,}3 - 0{,}8\), soit \(3{,}3 \le x - y \le 3{,}5\) (1 pt).

3) Tout est positif : \(4{,}2 \times 0{,}8 \le xy \le 4{,}3 \times 0{,}9\), soit \(3{,}36 \le xy \le 3{,}87\) (1 pt).