Nombres et ensembles de nombres : exercices corrigés de maths 2de à télécharger en PDF

1 À quels ensembles appartient-il ? ★★★

a) \(-7 \in \mathbb{Z},\ \mathbb{D},\ \mathbb{Q},\ \mathbb{R}\) mais \(-7 \notin \mathbb{N}\) (il est négatif).

b) \(0{,}125 = \dfrac{125}{1000} = \dfrac{1}{8}\) : il est dans \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\), pas dans \(\mathbb{Z}\).

c) \(\dfrac{4}{3} = 1{,}333\dots\) a une infinité de décimales : il est dans \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\), pas dans \(\mathbb{D}\).

d) \(\sqrt{49} = 7\) : il est dans les cinq ensembles.

e) \(\pi\) est irrationnel : il est seulement dans \(\mathbb{R}\).

2 Vrai ou faux ? ★★★

a) Vrai : \(n = \dfrac{n}{10^0}\).

b) Faux : \(\dfrac{1}{3} = 0{,}333\dots\) n’a pas une écriture décimale finie (le dénominateur contient \(3\)).

c) Faux : c’est l’inverse, \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\) ; par exemple \(-1 \in \mathbb{Z}\) mais \(-1 \notin \mathbb{N}\).

d) Vrai : \(0{,}333 = \dfrac{333}{1000}\).

e) Faux : \(\sqrt{2}\) est irrationnel.

3 Inégalités et intervalles ★★★

a) \([-2\,;\,5[\) (\(-2\) compris, \(5\) exclu).

b) \(]3\,;\,+\infty[\) (le crochet est toujours exclu en \(+\infty\)).

c) \(]-\infty\,;\,-1]\) (\(-1\) est compris).

d) \(]0\,;\,4]\).

4 Lire un intervalle sur une droite ★★★

a) A a pour abscisse \(-3\) et B a pour abscisse \(2\).

b) Les deux extrémités sont comprises : l’intervalle est \([-3\,;\,2]\).

c) \(-1{,}5\) est entre \(-3\) et \(2\) : oui. \(2\) est une extrémité comprise : oui. \(2{,}1 > 2\) : non.

5 Premières valeurs absolues ★★★

a) \(|-7| = 7\). b) \(|4{,}5| = 4{,}5\). c) \(3 - 8 = -5\), donc \(|3 - 8| = 5\).

d) \(|-2| + |5| = 2 + 5 = 7\). e) \(|-6| = 6\), donc \(-|-6| = -6\).

f) \(-2{,}5 \times 4 = -10\), donc \(|-10| = 10\).

6 Fractions en écriture décimale ★★★

a) \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100} = 0{,}75\). b) \(\dfrac{7}{8} = 0{,}875\). c) \(\dfrac{9}{20} = \dfrac{45}{100} = 0{,}45\). d) \(\dfrac{5}{16} = 0{,}3125\).

Les dénominateurs sont \(4 = 2^2\), \(8 = 2^3\), \(20 = 2^2 \times 5\) et \(16 = 2^4\) : il n’y a que des facteurs \(2\) et \(5\), donc ces fractions sont décimales.

7 Encadrer et arrondir ★★★

a) \(7 \le x \le 8\) ; \(7{,}8 \le x \le 7{,}9\) ; \(7{,}86 \le x \le 7{,}87\).

b) À l’unité : \(8\) (car \(0{,}863\) est plus proche de \(1\)). Au dixième : \(7{,}9\) (le chiffre suivant est \(6\)). Au centième : \(7{,}86\) (le chiffre suivant est \(3\)).

8 Réunion et intersection de trois intervalles ★★★

On place les trois intervalles sur une droite.

a) \(A \cap B = ]0\,;\,2]\) : \(0\) est exclu par \(B\), \(2\) est compris dans \(A\).

b) \(A \cup B = [-3\,;\,5]\) : les deux intervalles se recouvrent.

c) \(A \cap C = [-3\,;\,1[\).

d) \(B \cap C = ]0\,;\,1[\) (non vide).

e) \(A \cup C = ]-\infty\,;\,2]\).

9 Équations et inéquations avec |x − a| ★★★

a) Les points à distance \(4\) de \(3\) : \(x = 3 - 4 = -1\) ou \(x = 3 + 4 = 7\). \(S = \{-1\,;\,7\}\).

b) \(|x + 2| = |x - (-2)|\) : distance à \(-2\) au plus \(3\), donc \(-5 \le x \le 1\) et \(S = [-5\,;\,1]\).

c) Distance à \(1\) strictement supérieure à \(2\) : \(x < -1\) ou \(x > 3\), donc \(S = ]-\infty\,;\,-1[\ \cup\ ]3\,;\,+\infty[\).

10 Température du four ★★★

a) \(|T - 180| \le 5\) équivaut à \(175 \le T \le 185\) : \(T \in [175\,;\,185]\).

b) \(183 \in [175\,;\,185]\) : oui. \(176{,}5 \in [175\,;\,185]\) : oui. \(186 > 185\) : non, la tolérance n’est pas respectée.

11 Fractions irréductibles et décimaux ★★★

a) \(126 = 42 \times 3\) et \(210 = 42 \times 5\), donc \(\dfrac{126}{210} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\) : décimale.

b) \(91 = 13 \times 7\) et \(156 = 13 \times 12\), donc \(\dfrac{91}{156} = \dfrac{7}{12}\). Comme \(12 = 2^2 \times 3\) contient le facteur \(3\), la fraction n’est pas décimale.

c) \(87 = 3 \times 29\) et \(120 = 3 \times 40\), donc \(\dfrac{87}{120} = \dfrac{29}{40}\). Or \(40 = 2^3 \times 5\) : décimale, et \(\dfrac{29}{40} = 0{,}725\).

12 Calculs avec des fractions ★★★

A : dénominateur commun \(12\). \(A = \dfrac{8}{12} + \dfrac{10}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4}\).

B : \(\dfrac{7}{4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{4} - \dfrac{2}{4} = \dfrac{5}{4}\), puis \(B = \dfrac{5}{4} \times \dfrac{8}{5} = \dfrac{40}{20} = 2\).

C : \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}\), donc \(C = \dfrac{1}{\dfrac{5}{6}} = \dfrac{6}{5}\).

13 Puissances ★★★

A = \(2^{5 + (-3)} = 2^2 = 4\).

B = \(3^{4 - 6} = 3^{-2} = \dfrac{1}{9}\).

C : au numérateur \(10^{-2 + 5} = 10^3\), puis \(10^{3 - (-1)} = 10^4 = 10\,000\).

D = \(-8 + 9 = 1\).

E = \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}\).

14 Encadrer une somme, une différence, un produit ★★★

a) \(2{,}3 + 1{,}5 \le a + b \le 2{,}4 + 1{,}7\), soit \(3{,}8 \le a + b \le 4{,}1\).

b) On croise les bornes : \(2{,}3 - 1{,}7 \le a - b \le 2{,}4 - 1{,}5\), soit \(0{,}6 \le a - b \le 0{,}9\).

c) Tous les nombres sont positifs : \(2{,}3 \times 1{,}5 \le ab \le 2{,}4 \times 1{,}7\), soit \(3{,}45 \le ab \le 4{,}08\).

d) \(4{,}6 \le 2a \le 4{,}8\) et \(4{,}5 \le 3b \le 5{,}1\). Donc \(4{,}6 - 5{,}1 \le 2a - 3b \le 4{,}8 - 4{,}5\), soit \(-0{,}5 \le 2a - 3b \le 0{,}3\).

15 Arrondi, troncature et précision ★★★

a) Troncature au centième : \(14{,}28\). Arrondi : le chiffre suivant est \(5\), donc \(14{,}29\).

b) \(14{,}28 \le \dfrac{100}{7} \le 14{,}29\).

c) L’erreur est \(|14{,}29 - 14{,}285714\dots| = 0{,}004285\dots < 0{,}005\).

16 Affirmations à examiner ★★★

a) Faux : \(\sqrt{2}\) et \(-\sqrt{2}\) sont irrationnels, mais leur somme vaut \(0 \in \mathbb{Q}\).

b) Vrai : \(\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}\) avec \(ac \in \mathbb{Z}\) et \(bd\) entier non nul.

c) Vrai : si \(x < y\) sont décimaux, \(\dfrac{x + y}{2}\) est strictement entre eux ; comme \(x + y\) est décimal, \(\dfrac{x+y}{2} = \dfrac{5(x+y)}{10}\) l’est aussi.

d) Faux : avec \(a = 3\) et \(b = -1\), \(|a + b| = 2\) mais \(|a| + |b| = 4\).

17 Un développement décimal périodique ★★★

a) \(100x = 36{,}3636\dots\), donc \(100x - x = 36\), soit \(99x = 36\) et \(x = \dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11}\) (on simplifie par \(9\)). On vérifie : \(4 \div 11 = 0{,}3636\dots\)

b) Soit \(y = 2{,}4545\dots\) Alors \(100y = 245{,}4545\dots\), donc \(99y = 243\) et \(y = \dfrac{243}{99} = \dfrac{27}{11}\) (on simplifie par \(9\)).

18 Un irrationnel, plusieurs irrationnels ★★★

Raisonnons par l’absurde. Supposons \(3 + \sqrt{2} = r\) avec \(r\) rationnel. Alors \(\sqrt{2} = r - 3\) serait rationnel comme différence de deux rationnels : contradiction. Donc \(3 + \sqrt{2}\) est irrationnel.

Supposons \(2\sqrt{2} = r\) avec \(r\) rationnel. Alors \(\sqrt{2} = \dfrac{r}{2}\) serait rationnel : contradiction. Donc \(2\sqrt{2}\) est irrationnel.

19 Entiers dans une réunion et une intersection ★★★

a) \(A \cup B = [-3\,;\,5]\) (les intervalles se chevauchent sur \(]1\,;\,2[\)) et \(A \cap B = ]1\,;\,2[\).

b) Dans \(A \cup B\) : \(-3\,;\,-2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\), soit \(9\) entiers. Dans \(A \cap B = ]1\,;\,2[\) il n’y a aucun entier, car \(1\) et \(2\) sont exclus.

20 Distance à un point ★★★

a) On cherche \(|x + 1{,}5| = 2{,}5\), donc \(x + 1{,}5 = 2{,}5\) ou \(x + 1{,}5 = -2{,}5\), soit \(x = 1\) ou \(x = -4\).

b) \(|x - (-1{,}5)| \le 2{,}5\) équivaut à \(-1{,}5 - 2{,}5 \le x \le -1{,}5 + 2{,}5\), soit \(x \in [-4\,;\,1]\).

c) \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\), donc \(\sqrt{2} - 3 \approx -1{,}586\). Comme \(-4 \le -1{,}586 \le 1\), oui.

21 Encadrer des racines et des sommes ★★★

a) \(9 < 11 < 16\), donc \(3 < \sqrt{11} < 4\) (la racine carrée est croissante).

b) \(3{,}3^2 = 10{,}89\) et \(3{,}4^2 = 11{,}56\) : comme \(10{,}89 < 11 < 11{,}56\), on a \(3{,}3 < \sqrt{11} < 3{,}4\).

c) On additionne les bornes : \(3{,}14 + 1{,}41 < \pi + \sqrt{2} < 3{,}15 + 1{,}42\), soit \(4{,}55 < \pi + \sqrt{2} < 4{,}57\).

22 Sentier de randonnée ★★★

a) \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{11}{15}\).

b) \(1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{15}{15} - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}\).

c) \(\dfrac{4}{15} \times 24 = \dfrac{96}{15} = 6{,}4\) km.

d) \(\dfrac{4}{15}\) est irréductible et \(15 = 3 \times 5\) contient le facteur \(3\) : ce n’est pas un décimal. En revanche \(6{,}4\) est décimal : \(24\) est un multiple de \(3\), ce qui compense le dénominateur.