Suites réelles et complexes : corrigé du contrôle de maths Maths Sup

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Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.

Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice autorisée seulement quand l’énoncé le précise.

Sommaire

On factorise \(n^2\) : \(a_n = \dfrac{4 - 3/n + 1/n^2}{5 + 2/n^2} \to \dfrac{4}{5}\). (1 pt)
\(b_n = \dfrac{4n}{\sqrt{n^2+4n}+n} = \dfrac{4}{\sqrt{1+4/n}+1} \to 2\). (1 pt)
\(c_n = 5^n\left(1 - \left(\tfrac{4}{5}\right)^n\right)\), avec \(5^n \to +\infty\) et \(1 - (4/5)^n \to 1\) : \(c_n \to +\infty\). (1 pt)

Comme \(-1 \leq \cos n \leq 1\), on a \(n - 1 \leq n + \cos n \leq n + 1\) ; on divise par \(2n+1 \gt 0\). (1 pt) Les deux bornes tendent vers \(\dfrac{1}{2}\) ; par encadrement, \(u_n \to \dfrac{1}{2}\). (1 pt)
\(\cos n \leq 1\) donne \(v_n \geq n - 1 \to +\infty\), donc \(v_n \to +\infty\) par minoration. (1 pt)

\(0{,}4\,\ell = 8\), donc \(\ell = 20\). (1 pt)
\(v_{n+1} = u_{n+1} - 20 = 0{,}6u_n + 8 - 20 = 0{,}6(u_n - 20) = 0{,}6\,v_n\) : suite géométrique de raison \(0{,}6\) et de premier terme \(v_0 = -10\). (1 pt)
\(v_n = -10 \times 0{,}6^n\), donc \(u_n = 20 - 10 \times 0{,}6^n\). (1 pt)
\(0{,}6^n\) décroît, donc \(u_n\) est croissante ; et \(0{,}6^n \to 0\) donne \(u_n \to 20\). (1 pt)
\(u_n \gt 19{,}9 \iff 0{,}6^n \lt 0{,}01\). Comme \(0{,}6^9 \approx 0{,}0101\) et \(0{,}6^{10} \approx 0{,}00605\), le plus petit entier est \(n = 10\). (1 pt)

\(1 - (1-u)^2 = 1 - 1 + 2u - u^2 = 2u - u^2\). (0,5 pt) Si \(0 \lt u_n \lt 1\), alors \(0 \lt 1 - u_n \lt 1\), donc \(0 \lt (1-u_n)^2 \lt 1\) et \(0 \lt u_{n+1} \lt 1\) ; c’est vrai pour \(u_0 = \tfrac{1}{4}\), d’où le résultat par récurrence. (1,5 pt)
\(u_{n+1} - u_n = u_n - u_n^2 = u_n(1-u_n) \gt 0\) : la suite est croissante. (1 pt)
Croissante et majorée par \(1\), elle converge vers un réel \(\ell\). (0,5 pt) Par passage à la limite, \(\ell = 2\ell - \ell^2\), soit \(\ell(\ell - 1) = 0\), donc \(\ell = 0\) ou \(\ell = 1\). (1 pt) Comme \(u_n \geq u_0 = \tfrac{1}{4}\), on a \(\ell \geq \tfrac{1}{4}\), donc \(\ell = 1\). (0,5 pt)

\(a_{n+1} - a_n = \dfrac{1}{(n+1)^2} \gt 0\). (0,5 pt)
\(b_{n+1} - b_n = \dfrac{1}{(n+1)^2} + \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{(n+1)^2} - \dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{n - (n+1)}{n(n+1)^2} = -\dfrac{1}{n(n+1)^2} \lt 0\). (1,5 pt)
\(b_n - a_n = \dfrac{1}{n} \to 0\), \((a_n)\) croît et \((b_n)\) décroît : elles sont adjacentes, donc convergent vers une même limite \(\ell\). (1 pt)
\(a_2 = 1 + \dfrac{1}{4} = 1{,}25\) et \(b_2 = 1{,}25 + 0{,}5 = 1{,}75\), donc \(1{,}25 \leq \ell \leq 1{,}75\). (1 pt)

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