Groupes, anneaux et corps : corrigé du contrôle de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Une loi sur un intervalle / 3 pts

1. Pour \(x, y \in I\), \(1 + xy > 0\), et \((1 + xy) - (x + y) = (1-x)(1-y) > 0\), \((1 + xy) + (x + y) = (1+x)(1+y) > 0\). Donc \(|x + y| < 1 + xy\), c’est-à-dire \(|x \star y| < 1\) : \(I\) est stable. (1 pt)
2. \(x \star 0 = x\) : le neutre est \(0\). (0,5 pt) Le symétrique de \(x\) est \(-x \in I\), car \(x \star (-x) = \dfrac{0}{1 - x^2} = 0\). (1 pt)
3. \(\dfrac12 \star \dfrac13 = \dfrac{\frac56}{1 + \frac16} = \dfrac{5/6}{7/6} = \dfrac57\). (0,5 pt)

2 Un morphisme de Z/20Z / 4 pts

1. \(f(x + y) = 8(x+y) = 8x + 8y = f(x) + f(y)\). (1 pt)
2. \(8x \equiv 0 \pmod{20}\) équivaut à \(2x \equiv 0 \pmod 5\), donc à \(x \equiv 0 \pmod 5\). \(\mathrm{Ker}\, f = \{0, 5, 10, 15\}\). (1 pt)
3. \(f\) prend les valeurs \(0, 8, 16, 4, 12\) pour \(x = 0, 1, 2, 3, 4\), puis se répète : \(\mathrm{Im}\, f = \{0, 4, 8, 12, 16\}\). (1 pt)
4. Le noyau n’est pas réduit à \(\{0\}\) : \(f\) n’est pas injectif. (0,5 pt) Relation : \(4 \times 5 = 20 = |\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}|\). (0,5 pt)

3 Calculs dans Z/11Z / 4 pts

(a) \(11\) est un nombre premier, donc \(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}\) est un corps. (1 pt)

(b) \(7 \times 8 = 56 = 55 + 1 = 1\), donc \(7^{-1} = 8\). (1 pt)

(c) \(7x = 2 - 3 = -1 = 10\), donc \(x = 10 \times 8 = 80 = 3\) (car \(80 = 77 + 3\)). Vérification : \(7 \times 3 + 3 = 24 = 2\). (1 pt)

(d) \(5 = 16\) dans \(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}\), donc \(x^2 - 5 = x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\). Dans un corps, un produit nul impose un facteur nul : \(x = 4\) ou \(x = -4 = 7\). Les solutions sont \(4\) et \(7\). (1 pt)

4 Une permutation de S7 / 4 pts

1. \(1 \to 4 \to 6 \to 2 \to 3 \to 1\) et \(5 \to 7 \to 5\). Donc \(\sigma = (1\;4\;6\;2\;3)(5\;7)\). (1 pt)
2. \(\varepsilon(\sigma) = (-1)^{4} \times (-1)^{1} = -1\). (1 pt)
3. L’ordre est \(\mathrm{ppcm}(5, 2) = 10\). (1 pt)
4. On inverse chaque cycle : \(\sigma^{-1} = (1\;3\;2\;6\;4)(5\;7)\), soit en ligne \((3, 6, 2, 1, 7, 4, 5)\). (1 pt)

5 Sommes télescopiques / 3 pts

(a) \(\sum_{k=1}^{n}(2k - 1) = 2\dfrac{n(n+1)}{2} - n = n^2 + n - n = n^2\). Pour \(n = 30\) : \(900\). (1 pt)

(b) \((k+1)! - k! = (k+1)\,k! - k! = k \cdot k!\). (1 pt) La somme télescopique vaut \(\sum_{k=1}^{5}\big((k+1)! - k!\big) = 6! - 1! = 720 - 1 = 719\). (1 pt)

6 Binôme et dénombrement / 2 pts

(a) \((2x-1)^4 = (2x)^4 - 4(2x)^3 + 6(2x)^2 - 4(2x) + 1 = 16x^4 - 32x^3 + 24x^2 - 8x + 1\). (1 pt)

(b) \(\dbinom n2 = \dfrac{n(n-1)}{2} = 36\) donne \(n(n-1) = 72 = 9 \times 8\), donc \(n = 9\) (l’autre racine \(-8\) est exclue). (1 pt)