Groupes, anneaux et corps : exercices corrigés de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Une loi sur les entiers ★★★

1. \(a \star b = a + b - 4 = b \star a\) : commutative. De plus \((a\star b)\star c = a + b - 4 + c - 4 = a + b + c - 8\) et \(a \star (b \star c) = a + b + c - 8\) : associative.
2. On cherche \(e\) avec \(a \star e = a\), soit \(a + e - 4 = a\), donc \(e = 4\).
3. Le symétrique \(a'\) vérifie \(a \star a' = 4\), soit \(a' = 8 - a\). Pour \(a = 10\), on trouve \(-2\) ; vérification : \(10 \star (-2) = 4\). Enfin \(9 \star (-2) = 9 - 2 - 4 = 3\).

2 Calculer modulo 7 ★★★

\(5 + 4 = 9 = 2\) ; \(3 \times 6 = 18 = 4\) (car \(18 = 14 + 4\)) ; l’opposé de \(2\) est \(5\) car \(2 + 5 = 7 = 0\) ; l’inverse de \(3\) est \(5\) car \(3 \times 5 = 15 = 1\).

Enfin \(6 = -1\) donc \(6^{10} = (-1)^{10} = 1\).

3 Groupe ou pas ? ★★★

\((\mathbb{N}, +)\) : non, \(1\) n’a pas d’opposé dans \(\mathbb{N}\). \((\mathbb{Z}, \times)\) : non, \(2\) n’a pas d’inverse entier. \((\mathbb{Q}^*, \times)\) : oui, la multiplication est associative, \(1\) est neutre et l’inverse de \(\frac{p}{q}\) est \(\frac{q}{p}\). \((\mathbb{R}_+^*, \times)\) : oui, pour la même raison.

\((\mathbb{Z}, -)\) : non, la loi n’est pas associative, car \((5-3)-1 = 1 \neq 3 = 5-(3-1)\).

4 Sous-groupe ou non ? ★★★

(a) Oui : \(0 \in 5\mathbb{Z}\) et la différence de deux multiples de \(5\) est un multiple de \(5\).

(b) Non : \(1 \in \mathbb{N}\) mais son opposé \(-1 \notin \mathbb{N}\).

(c) Non : \(2\) et \(3\) sont dedans, mais \(2 + 3 = 5\) n’est multiple ni de \(2\) ni de \(3\).

(d) Oui : \(1 \in H\), et \(1 \times 1^{-1} = 1\), \(1 \times (-1)^{-1} = -1\), \((-1) \times (-1)^{-1} = 1\), \((-1)\times 1^{-1} = -1\) sont dans \(H\).

5 Sommes et produits à la main ★★★

\(\sum_{k=1}^{20} k = \dfrac{20 \times 21}{2} = 210\). \(\sum_{k=0}^{6} 2^k = \dfrac{2^7 - 1}{2 - 1} = 127\). \(\sum_{k=1}^{5} k^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55\). \(\prod_{k=1}^{5} k = 5! = 120\).

Enfin \(\sum_{k=3}^{8} 2k = 2(3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) = 2 \times 33 = 66\).

6 Coefficients binomiaux ★★★

\(\dbinom73 = \dfrac{7 \times 6 \times 5}{6} = 35\) ; \(\dbinom{10}{2} = \dfrac{10 \times 9}{2} = 45\) ; \(\dbinom99 = 1\) ; \(\dbinom85 = \dbinom83 = 56\) par symétrie ; \(\dbinom{12}{1} = 12\).

Pascal : \(\dbinom83 + \dbinom84 = 56 + 70 = 126 = \dbinom94\).

7 Développer avec le binôme ★★★

La ligne \(5\) du triangle de Pascal est \(1, 5, 10, 10, 5, 1\) donc \((a+b)^5 = a^5 + 5a^4 b + 10a^3 b^2 + 10 a^2 b^3 + 5 a b^4 + b^5\).

Ligne \(4\) : \(1, 4, 6, 4, 1\), donc \((x+2)^4 = x^4 + 4 \cdot 2\, x^3 + 6 \cdot 4\, x^2 + 4 \cdot 8\, x + 16 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16\).

8 Une loi sur les réels privés d’un point ★★★

1. \(1 - 2(x + y - 2xy) = 1 - 2x - 2y + 4xy = (1 - 2x)(1 - 2y)\).
2. Si \(x, y \neq \frac12\), le produit \((1-2x)(1-2y)\) est non nul, donc \(x \star y \neq \frac12\) : \(E\) est stable. La relation du (a) donne \(1 - 2\big((x\star y)\star z\big) = (1-2x)(1-2y)(1-2z)\), symétrique en \(x, y, z\) : la loi est associative. Elle est clairement commutative. Le neutre est \(0\) car \(x \star 0 = x\). Le symétrique \(y\) de \(x\) vérifie \((1-2x)(1-2y) = 1\), donc \(y = -\dfrac{x}{1-2x}\), qui est bien dans \(E\) (car \(1 - 2y = \frac{1}{1-2x} \neq 0\)).
3. Pour \(x = 3\) : \(y = -\dfrac{3}{-5} = \dfrac35\) ; vérification : \(3 \star \frac35 = \frac{18}{5} - \frac{18}{5} = 0\). Ensuite \(4 \star x = 4 + x - 8x = 4 - 7x = 1\) donne \(x = \dfrac37\), et \(\frac37 \neq \frac12\) donc \(\frac37 \in E\).

9 Intersection et somme de sous-groupes ★★★

Un entier est dans l’intersection s’il est multiple commun de \(12\) et \(18\), donc multiple de leur ppcm \(36\) : \(12\mathbb{Z} \cap 18\mathbb{Z} = 36\mathbb{Z}\).

La somme \(12\mathbb{Z} + 18\mathbb{Z}\) est un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\), donc de la forme \(n\mathbb{Z}\) ; il contient \(18 - 12 = 6\) et ses éléments sont tous multiples de \(\mathrm{pgcd}(12, 18) = 6\) : c’est \(6\mathbb{Z}\).

Enfin \(12\) et \(18\) sont dans la réunion, mais \(12 + 18 = 30\) n’est multiple ni de \(12\) ni de \(18\) : la réunion n’est pas stable pour l’addition.

10 Est-ce un morphisme ? ★★★

\(f(a+b) = 5a + 5b = f(a) + f(b)\) : morphisme. \(\mathrm{Ker} f = \{0\}\), \(\mathrm{Im} f = 5\mathbb{Z}\).

\(g(0) = 1 \neq 0\) : un morphisme envoie neutre sur neutre, donc \(g\) n’en est pas un.

\(h(xy) = x^2 y^2 = h(x)h(y)\) : morphisme. \(\mathrm{Ker} h = \{x \mid x^2 = 1\} = \{-1, 1\}\), non réduit au neutre, donc \(h\) n’est pas injectif ; \(\mathrm{Im} h = \mathbb{R}_+^*\).

11 Réduction modulo ★★★

\(\varphi(\overline{x} + \overline{y}) = \overline{x + y} \bmod 4 = \varphi(\overline{x}) + \varphi(\overline{y})\) : c’est un morphisme.

Noyau : classes de \(x \in \{0, \dots, 11\}\) divisibles par \(4\), soit \(\{0, 4, 8\}\), de cardinal \(3\). Image : toutes les classes de \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) (\(0, 1, 2, 3\) sont atteintes), de cardinal \(4\).

Relation : \(|\mathrm{Ker}\,\varphi| \times |\mathrm{Im}\,\varphi| = 3 \times 4 = 12 = |\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}|\). Le noyau n’est pas réduit à \(\{0\}\) : \(\varphi\) n’est pas injectif.

12 Ordres dans Z/12Z ★★★

L’ordre de \(k\) est \(\dfrac{12}{\mathrm{pgcd}(12, k)}\). Pour \(8\) : \(\mathrm{pgcd} = 4\), ordre \(3\) (\(8 + 8 + 8 = 24 = 0\)). Pour \(5\) : \(\mathrm{pgcd} = 1\), ordre \(12\). Pour \(9\) : \(\mathrm{pgcd} = 3\), ordre \(4\). Pour \(6\) : \(\mathrm{pgcd} = 6\), ordre \(2\).

Les éléments d’ordre \(12\) sont ceux premiers avec \(12\) : \(1, 5, 7, 11\), soit \(4\) éléments.

13 Inversibles de Z/10Z ★★★

Les inversibles sont les classes premières avec \(10\) : \(1, 3, 7, 9\). Inverses : \(1^{-1} = 1\), \(3^{-1} = 7\) (car \(21 = 1\)), \(7^{-1} = 3\), \(9^{-1} = 9\) (car \(81 = 1\)).

L’anneau n’est pas un corps : \(2\) n’est pas inversible, et même \(2 \times 5 = 0\) avec \(2, 5 \neq 0\) : ce sont des diviseurs de zéro.

14 Somme et produit télescopiques ★★★

On a \(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1} = \dfrac{1}{k(k+1)}\). Donc \(\sum_{k=1}^{n}\Big(\dfrac1k - \dfrac1{k+1}\Big) = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}\) (somme télescopique). Pour \(n = 99\) : \(\dfrac{99}{100}\).

Pour le produit, \(1 + \dfrac1k = \dfrac{k+1}{k}\), donc \(\prod_{k=1}^{49} \dfrac{k+1}{k} = \dfrac{2}{1} \times \dfrac{3}{2} \times \cdots \times \dfrac{50}{49} = 50\).

15 Décomposer une permutation ★★★

1. \(1 \to 3 \to 1\) ; \(2 \to 6 \to 4 \to 5 \to 2\). Donc \(\sigma = (1\;3)(2\;6\;4\;5)\).
2. Signature : \((-1)^{1} \times (-1)^{3} = +1\), la permutation est paire. Ordre : \(\mathrm{ppcm}(2, 4) = 4\).
3. \(\sigma^2\) : \(1, 3\) sont fixes ; \(2 \mapsto \sigma(6) = 4\), \(4 \mapsto \sigma(5) = 2\), \(6 \mapsto \sigma(4) = 5\), \(5 \mapsto \sigma(2) = 6\), donc \(\sigma^2 = (2\;4)(5\;6)\). Comme \(\sigma^4 = \mathrm{id}\) et \(2026 = 4 \times 506 + 2\), on a \(\sigma^{2026} = \sigma^2 = (2\;4)(5\;6)\).

16 Un groupe dont tous les éléments sont d’ordre 2 ★★★

Chaque élément est son propre symétrique : \(x^{-1} = x\). Soit \(x, y \in G\). Alors \(x \star y\) est aussi son propre symétrique : \((x\star y)^{-1} = x \star y\). Mais on sait que \((x \star y)^{-1} = y^{-1} \star x^{-1} = y \star x\). Donc \(x \star y = y \star x\) : \(G\) est abélien.

Exemple : \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, +)\), où \(1 + 1 = 0\) ; ou encore le produit \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) muni de l’addition composante par composante.

17 L’anneau des a + b√2 ★★★

1. \(1 = 1 + 0\sqrt2\) appartient à l’ensemble. Si \(x = a + b\sqrt2\) et \(y = c + d\sqrt2\), alors \(x - y = (a - c) + (b - d)\sqrt2\) et \(xy = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt2\) sont encore de la forme voulue : c’est un sous-anneau de \(\mathbb{R}\).
2. \((1 + \sqrt2)(\sqrt2 - 1) = 2 - 1 = 1\) et \(\sqrt2 - 1 = -1 + 1\cdot\sqrt2 \in \mathbb{Z}[\sqrt2]\), donc \(1 + \sqrt2\) est inversible, d’inverse \(-1 + \sqrt2\). De même \((3 + 2\sqrt2)(3 - 2\sqrt2) = 9 - 8 = 1\).
3. \((1 + \sqrt2)^3 = 1 + 3\sqrt2 + 3 \cdot 2 + 2\sqrt2 = 7 + 5\sqrt2\).
4. Si \(2(a + b\sqrt2) = 1\), alors \(2a = 1\) et \(2b = 0\) (car \(\sqrt2\) est irrationnel), donc \(a = \frac12 \notin \mathbb{Z}\). Impossible : \(2\) n’est pas inversible dans \(\mathbb{Z}[\sqrt2]\).

18 Sommes de coefficients binomiaux ★★★

Avec \((1+1)^n\) : \(\sum \binom nk = 2^n\). Avec \((1-1)^n\) : \(\sum (-1)^k\binom nk = 0\). Avec \((1+3)^n\) : \(\sum \binom nk 3^k = 4^n\) (vérification pour \(n = 5\) : \(1 + 15 + 90 + 270 + 405 + 243 = 1024 = 4^5\)).

Pour \(k \geq 1\) : \(k\dbinom nk = k\dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{n!}{(k-1)!(n-k)!} = n\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = n\dbinom{n-1}{k-1}\).

Donc \(\sum_{k=1}^{n} k\binom nk = n\sum_{k=1}^{n}\binom{n-1}{k-1} = n\,2^{n-1}\). Pour \(n = 10\) : \(10 \times 512 = 5120\).

19 Résoudre dans le corps Z/7Z ★★★

(a) \(7\) est premier, donc tout \(k \in \{1, \dots, 6\}\) est premier avec \(7\) : \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\) est un corps. Inverses : \(1^{-1} = 1\), \(2^{-1} = 4\) (\(8 = 1\)), \(3^{-1} = 5\) (\(15 = 1\)), \(4^{-1} = 2\), \(5^{-1} = 3\), \(6^{-1} = 6\) (\(36 = 1\)).

(b) \(3x = 2 - 4 = -2 = 5\), donc \(x = 5 \times 3^{-1} = 5 \times 5 = 25 = 4\). Vérification : \(3 \times 4 + 4 = 16 = 2\). Pour \(x^2 = 2\), on teste : \(3^2 = 9 = 2\) et \(4^2 = 16 = 2\) ; les carrés de \(0, 1, 2, 5, 6\) valent \(0, 1, 4, 4, 1\). Solutions : \(x = 3\) et \(x = 4\).

(c) \(3x = 3\) a pour solutions \(1, 3, 5\) : trois solutions, car \(3\) est un diviseur de zéro (\(3 \times 2 = 0\)) et on ne peut pas simplifier par \(3\). Dans un corps, l’équation \(ax = b\) avec \(a \neq 0\) a une unique solution.

20 Une identité de Vandermonde ★★★

Le coefficient de \(x^n\) dans \((1+x)^{2n}\) est \(\binom{2n}{n}\). Dans le produit \(\Big(\sum_{i}\binom ni x^i\Big)\Big(\sum_{j}\binom nj x^j\Big)\), on obtient \(x^n\) pour \(i + j = n\), d’où le coefficient \(\sum_{k=0}^{n}\binom nk\binom n{n-k}\). Par symétrie \(\binom n{n-k} = \binom nk\), donc ce coefficient vaut \(\sum_k\binom nk^2\) : l’identité est démontrée.

Pour \(n = 4\) : \(1 + 16 + 36 + 16 + 1 = 70 = \dbinom84\).

21 Dénombrer dans S4 ★★★

Types possibles : identité (\(1\)) ; transpositions (\(\binom42 = 6\)) ; 3-cycles (\(\binom43 \times 2 = 8\)) ; 4-cycles (\(3! = 6\)) ; produits de deux transpositions disjointes (\(3\)). Total : \(1 + 6 + 8 + 6 + 3 = 24 = 4!\).

Signatures : identité \(+1\), transposition \(-1\), 3-cycle \(+1\), 4-cycle \(-1\), double transposition \(+1\). Paires : \(1 + 8 + 3 = 12 = \dfrac{4!}{2}\), ce qui est bien le cardinal de \(A_4\).

Ordre \(2\) : les \(6\) transpositions et les \(3\) doubles transpositions, soit \(9\) éléments.

22 Une somme double ★★★

On remplace \(\min(i, j)\) par la somme de l’indication (on compte les entiers \(k\) inférieurs à la fois à \(i\) et à \(j\)) et on intervertit les sommes : \(\sum_{i,j}\min(i,j) = \sum_{k=1}^{n}\Big(\sum_{i \ge k}1\Big)\Big(\sum_{j \ge k}1\Big) = \sum_{k=1}^{n}(n - k + 1)^2\).

Avec le changement d’indice \(m = n - k + 1\), on obtient \(\sum_{m=1}^{n} m^2\). Pour \(n = 4\) : \(1 + 4 + 9 + 16 = 30\), et \(\dfrac{4 \cdot 5 \cdot 9}{6} = 30\).