Additionner des entiers, composer des fonctions, mélanger un jeu de cartes, calculer modulo une horloge : ces situations semblent éloignées, et pourtant elles obéissent aux mêmes règles. L’algèbre générale isole ces règles et leur donne un nom : structure algébrique. Ce chapitre construit le vocabulaire des lois, des groupes, des anneaux et des corps, présente le groupe des permutations, puis rassemble les outils de calcul indispensables en première année : sommes, produits et coefficients binomiaux.
1. Lois de composition interne
Une loi de composition interne (LCI) sur un ensemble \(E\) est une application \(\star : E \times E \to E\), notée \((x,y) \mapsto x \star y\). Le résultat reste dans \(E\) : on dit que \(E\) est stable par la loi.
Une loi peut posséder des propriétés remarquables :
- associative : \((x \star y) \star z = x \star (y \star z)\) pour tous \(x, y, z\) ;
- commutative : \(x \star y = y \star x\) pour tous \(x, y\) ;
- admettre un élément neutre \(e\) : \(x \star e = e \star x = x\) pour tout \(x\) ;
- un élément \(x\) est symétrisable s’il existe \(x'\) tel que \(x \star x' = x' \star x = e\) ; \(x'\) est alors un symétrique de \(x\).
Sur \(E = \mathbb{R} \setminus \{1\}\), on pose \(x \star y = x + y - xy\). Remarquons que \(1 - (x \star y) = (1-x)(1-y)\).
Comme \(1-x\) et \(1-y\) sont non nuls, leur produit est non nul : \(x \star y \neq 1\), donc \(E\) est stable. Pour l’associativité, \(1 - \big((x\star y)\star z\big) = (1-x)(1-y)(1-z)\), expression symétrique en \(x, y, z\), donc identique pour \(x \star (y \star z)\). La loi est commutative, l’élément neutre est \(0\), et le symétrique de \(x\) est \(x' = \dfrac{x}{x-1}\) : par exemple \(2' = 2\), car \(2 \star 2 = 4 - 4 = 0\).
La soustraction sur \(\mathbb{Z}\) n’est pas associative : \((5-3)-1 = 1\) alors que \(5-(3-1) = 3\). Une loi n’est pas toujours associative, ni commutative : la composition de fonctions ne l’est pas.
2. Groupes
Un groupe est un couple \((G, \star)\) où \(\star\) est une LCI sur \(G\) associative, admettant un élément neutre \(e\), et pour laquelle tout élément possède un symétrique. Si de plus \(\star\) est commutative, le groupe est dit abélien (ou commutatif).
Exemples de référence : \((\mathbb{Z}, +)\), \((\mathbb{Q}^*, \times)\), \((\mathbb{R}_+^*, \times)\), le groupe des racines \(n\)-ièmes de l’unité \((\mathbb{U}_n, \times)\), le groupe \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)\) des classes modulo \(n\), et le groupe des bijections d’un ensemble dans lui-même, muni de la composition (non abélien dès que l’ensemble a trois éléments). En revanche \((\mathbb{N}, +)\) n’est pas un groupe (pas d’opposé) ni \((\mathbb{Z}, \times)\) (seuls \(1\) et \(-1\) sont inversibles).
Dans un groupe \((G, \star)\) : l’élément neutre est unique ; le symétrique d’un élément est unique, noté \(x^{-1}\) (ou \(-x\) en notation additive) ; \((x \star y)^{-1} = y^{-1} \star x^{-1}\) ; tout élément est régulier : \(x \star a = x \star b \Rightarrow a = b\).
La preuve de la règle sur \((x\star y)^{-1}\) tient en une ligne : \((x \star y) \star (y^{-1} \star x^{-1}) = x \star (y \star y^{-1}) \star x^{-1} = x \star x^{-1} = e\). Attention à l’ordre des facteurs, il s’inverse.
La table ci-dessus est celle de \((\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +)\). Dans un groupe fini, chaque ligne et chaque colonne contient tous les éléments exactement une fois : c’est la régularité en action. L’élément neutre \(0\) apparaît une fois par ligne, et deux éléments symétriques l’un de l’autre sont placés de façon symétrique autour de la diagonale (ici \(1 + 3 = 0\) et \(2 + 2 = 0\)).
3. Sous-groupes
Une partie \(H\) d’un groupe \((G, \star)\) est un sous-groupe si et seulement si : \(H\) contient \(e\) ; pour tous \(x, y \in H\), \(x \star y^{-1} \in H\). Un sous-groupe est alors lui-même un groupe pour la loi induite.
Pour \(n \in \mathbb{Z}\), \(n\mathbb{Z}\) est un sous-groupe de \((\mathbb{Z}, +)\) : \(0 \in n\mathbb{Z}\) et la différence de deux multiples de \(n\) est un multiple de \(n\). Pour \(4\mathbb{Z}\) et \(6\mathbb{Z}\), l’intersection est \(4\mathbb{Z} \cap 6\mathbb{Z} = 12\mathbb{Z}\) (multiples communs : ppcm \(= 12\)), et la somme \(4\mathbb{Z} + 6\mathbb{Z} = 2\mathbb{Z}\) (pgcd \(= 2\)). En revanche la réunion \(4\mathbb{Z} \cup 6\mathbb{Z}\) n’est pas un sous-groupe : \(4 + 6 = 10\) n’appartient à aucun des deux.
Les sous-groupes de \((\mathbb{Z}, +)\) sont exactement les \(n\mathbb{Z}\), avec \(n \in \mathbb{N}\).
Preuve : si \(H \neq \{0\}\), il contient un entier strictement positif ; soit \(n\) le plus petit. Pour \(h \in H\), la division euclidienne \(h = nq + r\) avec \(0 \le r < n\) donne \(r = h - nq \in H\), donc \(r = 0\) par minimalité de \(n\), et \(H = n\mathbb{Z}\).
Un élément \(x\) d’un groupe est d’ordre fini s’il existe \(m \geq 1\) avec \(x^m = e\) ; le plus petit tel \(m\) est l’ordre de \(x\). Dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), la classe de \(k\) est d’ordre \(\dfrac{n}{\mathrm{pgcd}(n,k)}\). Dans un groupe fini, l’ordre d’un sous-groupe divise celui du groupe (théorème de Lagrange, admis ici), et l’ordre de chaque élément divise l’ordre du groupe.
4. Morphismes de groupes
Une application \(f : (G, \star) \to (G', \cdot)\) est un morphisme de groupes si \(f(x \star y) = f(x) \cdot f(y)\) pour tous \(x, y \in G\). Le noyau est \(\mathrm{Ker}\, f = \{x \in G \mid f(x) = e'\}\), l’image est \(\mathrm{Im}\, f = f(G)\). Un morphisme bijectif est un isomorphisme.
Un morphisme vérifie \(f(e) = e'\) et \(f(x^{-1}) = f(x)^{-1}\). Son noyau est un sous-groupe de \(G\), son image un sous-groupe de \(G'\), et \(f\) est injectif si et seulement si \(\mathrm{Ker}\, f = \{e\}\).
Pour l’injectivité : si \(f(x) = f(y)\), alors \(f(x \star y^{-1}) = e'\), donc \(x \star y^{-1} \in \mathrm{Ker}\, f = \{e\}\) et \(x = y\). Exemples classiques : l’exponentielle \(\exp : (\mathbb{R}, +) \to (\mathbb{R}_+^*, \times)\) est un isomorphisme (de réciproque \(\ln\)) ; la réduction modulo \(n\), \(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), est un morphisme surjectif de noyau \(n\mathbb{Z}\) ; le déterminant \(\det : (\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}), \times) \to (\mathbb{R}^*, \times)\) en est un autre.
L’application \(f : (\mathbb{Z}, +) \to (\mathbb{Z}, +)\), \(n \mapsto 7n\), est un morphisme car \(7(a+b) = 7a + 7b\). Son noyau est \(\{0\}\), donc \(f\) est injectif ; son image est \(7\mathbb{Z}\), donc \(f\) n’est pas surjectif. En revanche \(g(n) = n + 1\) n’est pas un morphisme car \(g(0) = 1 \neq 0\).
5. Anneaux et corps
Un anneau est un triplet \((A, +, \times)\) tel que \((A, +)\) est un groupe abélien, \(\times\) est associative, possède un neutre \(1_A\), et est distributive sur \(+\) : \(a(b + c) = ab + ac\) et \((a+b)c = ac + bc\). L’anneau est commutatif si \(\times\) l’est.
Dans un anneau, \(0 \cdot x = 0\) et \((-1) \cdot x = -x\). Mais le produit de deux éléments non nuls peut être nul : on parle alors de diviseurs de zéro. Un anneau commutatif sans diviseur de zéro (et \(1 \neq 0\)) est dit intègre. L’ensemble \(A^\times\) des éléments inversibles pour \(\times\) est un groupe.
Un corps est un anneau commutatif dans lequel \(1 \neq 0\) et où tout élément non nul est inversible.
\(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{C}\) sont des corps ; \(\mathbb{Z}\) est un anneau intègre qui n’est pas un corps. Tout corps est intègre. Les anneaux \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) montrent la richesse du sujet.
La classe de \(k\) est inversible dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) si et seulement si \(\mathrm{pgcd}(k, n) = 1\). En particulier \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un corps si et seulement si \(n\) est premier.
Dans \(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}\), \(2 \times 5 = 10 = 0\) : \(2\) et \(5\) sont des diviseurs de zéro, donc l’anneau n’est pas intègre. Les inversibles sont les classes premières avec \(10\) : \(1, 3, 7, 9\), avec \(3 \times 7 = 21 = 1\) et \(9 \times 9 = 81 = 1\).
Dans un corps, on peut simplifier par tout élément non nul. Dans un anneau qui a des diviseurs de zéro, \(ab = ac\) n’entraîne pas \(b = c\) : méfie-toi des simplifications automatiques !
6. Le groupe symétrique
Une permutation de \(\{1, \dots, n\}\) est une bijection de cet ensemble dans lui-même. L’ensemble \(S_n\) des permutations, muni de la composition \((\sigma \tau)(x) = \sigma(\tau(x))\), est un groupe de cardinal \(n!\), non abélien dès que \(n \geq 3\). On écrit \(\sigma\) en ligne par la liste \((\sigma(1), \dots, \sigma(n))\).
Sur la figure, la flèche part du haut (\(x\)) vers le bas (\(\sigma(x)\)). On suit \(1 \to 4 \to 2 \to 1\) puis \(3 \to 5 \to 3\) : ce sont les deux cycles de la permutation. On la note \(\sigma = (1\;4\;2)(3\;5)\).
Toute permutation se décompose de façon unique, à l’ordre près, en produit de cycles à supports disjoints, qui commutent entre eux. Un cycle de longueur \(k\) est d’ordre \(k\), et l’ordre d’une permutation est le ppcm des longueurs de ses cycles. Un cycle de longueur \(k\) s’écrit comme produit de \(k-1\) transpositions.
La signature \(\varepsilon : S_n \to \{-1, 1\}\) est l’unique morphisme de groupes qui vaut \(-1\) sur chaque transposition. Un cycle de longueur \(k\) a pour signature \((-1)^{k-1}\). Le noyau de \(\varepsilon\), formé des permutations paires, est le groupe alterné \(A_n\), de cardinal \(\dfrac{n!}{2}\) pour \(n \geq 2\).
Pour \(\sigma = (1\;4\;2)(3\;5)\), l’ordre est \(\mathrm{ppcm}(3, 2) = 6\) et la signature vaut \((+1)(-1) = -1\) : \(\sigma\) est impaire. Calculons \(\sigma^2\) : \(1 \mapsto \sigma(4) = 2\), \(2 \mapsto \sigma(1) = 4\), \(4 \mapsto \sigma(2) = 1\), et \(3 \mapsto \sigma(5) = 3\), \(5 \mapsto 5\). Ainsi \(\sigma^2 = (1\;2\;4)\), un 3-cycle, de signature \(+1\), ce qui confirme \(\varepsilon(\sigma^2) = \varepsilon(\sigma)^2 = 1\).
- Suivre l’image de \(1\), puis de son image, jusqu’à revenir à \(1\) : premier cycle.
- Recommencer avec le plus petit élément non encore rencontré.
- Lire l’ordre (ppcm des longueurs) et la signature (produit des \((-1)^{k-1}\)).
7. Sommes et produits
La notation \(\displaystyle\sum_{k=m}^{n} a_k = a_m + a_{m+1} + \dots + a_n\) comporte \(n - m + 1\) termes ; l’indice \(k\) est muet. De même \(\displaystyle\prod_{k=m}^{n} a_k\) désigne le produit des mêmes termes, et \(n! = \displaystyle\prod_{k=1}^{n} k\). La somme est linéaire : \(\sum (\lambda a_k + b_k) = \lambda \sum a_k + \sum b_k\). Un changement d’indice \(j = k + 1\) décale les bornes sans changer la valeur.
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}\) ; \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) ; \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} q^k = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\) pour \(q \neq 1\). Et la somme télescopique : \(\displaystyle\sum_{k=m}^{n} (u_{k+1} - u_k) = u_{n+1} - u_m\).
Pour \(n \geq 2\), \(\displaystyle\prod_{k=2}^{n}\Big(1 - \dfrac{1}{k^2}\Big) = \prod_{k=2}^{n} \dfrac{(k-1)(k+1)}{k \cdot k} = \dfrac{1 \cdot 2 \cdots (n-1)}{2 \cdot 3 \cdots n} \times \dfrac{3 \cdot 4 \cdots (n+1)}{2 \cdot 3 \cdots n} = \dfrac{1}{n} \times \dfrac{n+1}{2} = \dfrac{n+1}{2n}\). Pour \(n = 4\) : \(\dfrac34 \times \dfrac89 \times \dfrac{15}{16} = \dfrac58\).
Pour une somme double sur un rectangle, on peut intervertir : \(\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{q} a_{ij} = \sum_{j=1}^{q}\sum_{i=1}^{p} a_{ij}\). Sur un domaine triangulaire, on écrit \(\sum_{1 \le i \le j \le n} a_{ij} = \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{j} a_{ij} = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n} a_{ij}\), en faisant attention aux nouvelles bornes. Enfin, \(\Big(\sum_i a_i\Big)\Big(\sum_j b_j\Big) = \sum_{i,j} a_i b_j\).
8. Coefficients binomiaux
Pour \(0 \le k \le n\), \(\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\). C’est le nombre de parties à \(k\) éléments d’un ensemble à \(n\) éléments.
Symétrie : \(\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}\). Relation de Pascal : \(\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}\). Formule du binôme de Newton : si \(a\) et \(b\) commutent dans un anneau, \((a + b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} a^k b^{n-k}\).
La relation de Pascal se lit sur le triangle : chaque nombre est la somme des deux voisins situés au-dessus de lui. La ligne \(n\) donne les coefficients de \((a+b)^n\). La condition de commutation est essentielle : pour deux matrices qui ne commutent pas, \((A+B)^2 \neq A^2 + 2AB + B^2\) en général.
\((2x + 3)^4 = \dbinom40 (2x)^4 + \dbinom41 (2x)^3 \cdot 3 + \dbinom42 (2x)^2 \cdot 9 + \dbinom43 (2x) \cdot 27 + \dbinom44 \cdot 81 = 16x^4 + 96x^3 + 216x^2 + 216x + 81\).
En choisissant \(a = b = 1\) on trouve \(\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k} = 2^n\) ; avec \(a = 1,\ b = -1\), \(\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\dbinom{n}{k} = 0\) pour \(n \geq 1\). L’identité \(k\dbinom{n}{k} = n\dbinom{n-1}{k-1}\) permet des simplifications utiles.
À retenir
- Un groupe : LCI associative, neutre, tout élément symétrisable ; \((x\star y)^{-1} = y^{-1}\star x^{-1}\).
- \(H\) est un sous-groupe de \(G\) si \(e \in H\) et \(x \star y^{-1} \in H\) pour tous \(x, y \in H\) ; ceux de \(\mathbb{Z}\) sont les \(n\mathbb{Z}\).
- Un morphisme envoie neutre sur neutre ; \(f\) est injectif si et seulement si \(\mathrm{Ker}\, f = \{e\}\).
- Un anneau : \((A,+)\) groupe abélien, \(\times\) associative, distributive ; un corps : tout non nul est inversible ; \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un corps si et seulement si \(n\) est premier.
- \(S_n\) est de cardinal \(n!\) ; on décompose en cycles disjoints, l’ordre est le ppcm des longueurs, la signature d’un \(k\)-cycle vaut \((-1)^{k-1}\).
- Le binôme \((a+b)^n = \sum \binom{n}{k} a^k b^{n-k}\) exige que \(a\) et \(b\) commutent ; \(\sum_k \binom{n}{k} = 2^n\).
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