Limites et continuité : corrigé du contrôle de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Calculs de limites / 4 pts

a) On factorise \(x^3\) : \(\dfrac{2 - 5/x^2}{4 + 1/x} \to \dfrac24 = \dfrac12\) (2 pts).

b) Quantité conjuguée : \(\dfrac{\sqrt{4+x} - 2}{x} = \dfrac{x}{x(\sqrt{4+x}+2)} = \dfrac{1}{\sqrt{4+x}+2}\) (1 pt), qui tend vers \(\dfrac14\) (1 pt).

2 Équivalents / 3 pts

a) \(1 - \cos(2x) \sim \dfrac{(2x)^2}{2} = 2x^2\) et \(x\sin(3x) \sim 3x^2\) (1 pt) ; le quotient tend vers \(\dfrac23\) (1 pt).

b) \(e^{4x} - 1 \sim 4x\) et \(\ln(1+x) \sim x\) : la limite vaut \(4\) (1 pt).

3 Continuité et paramètres / 3 pts

a) \(x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)\), donc \(f(x) = x + 2\) pour \(x \neq 3\), de limite \(5\) en \(3\) : on pose \(f(3) = 5\) (1 pt).

b) \(g(1) = 1 + a\) et la limite à droite vaut \(3 + 2 = 5\) (1 pt). La continuité en \(1\) donne \(1 + a = 5\), soit \(a = 4\) (1 pt).

4 Théorème des valeurs intermédiaires / 4 pts

\(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\), \(f(0) = -1 \lt 0\) et \(f(1) = 1 \gt 0\) : le TVI donne l’existence d’une solution dans \(]0,1[\) (1 pt).

\(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) (somme de \(x \mapsto x^5\) et \(x \mapsto x\)), donc la solution est unique sur \(\mathbb{R}\) (1 pt).

On calcule \(f(0{,}7) \approx -0{,}132 \lt 0\) et \(f(0{,}8) \approx 0{,}128 \gt 0\) (1 pt chacune) ; le TVI donne \(0{,}7 \lt c \lt 0{,}8\).

5 Théorème de la bijection / 3 pts

\(g\) est continue et strictement croissante (somme de deux fonctions strictement croissantes) (1 pt). Ses limites sont \(-\infty\) en \(0^+\) (car \(\ln x \to -\infty\)) et \(+\infty\) en \(+\infty\) (1 pt) : c’est une bijection de \(]0,+\infty[\) sur \(\mathbb{R}\).

\(g(1) = 1\) et \(g(e) = e + 1\), donc \(g^{-1}(1) = 1\) et \(g^{-1}(e+1) = e\) (1 pt).

6 Continuité uniforme / 3 pts

a) \(y_n - x_n = \tfrac1n \to 0\) (1 pt), mais \(y_n^3 - x_n^3 = 3n + \tfrac3n + \tfrac{1}{n^3} \geqslant 3n \geqslant 3\), donc l’écart des images ne tend pas vers \(0\) : la continuité n’est pas uniforme (1 pt).

b) Pour \(x, y \in [0,2]\), \(|x^3 - y^3| = |x-y|\,(x^2 + xy + y^2) \leqslant 12\,|x-y|\) : la fonction est \(12\)-lipschitzienne (1 pt).