Intégration et primitives : exercices de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Primitives à connaître ★★★

Donne une primitive de chaque fonction sur l’intervalle indiqué : a) \(x^4\) sur \(\mathbb{R}\) ; b) \(\dfrac{1}{x^2}\) sur \(]0\,;+\infty[\) ; c) \(e^{2x}\) sur \(\mathbb{R}\) ; d) \(\cos(3x)\) sur \(\mathbb{R}\) ; e) \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) sur \(]0\,;+\infty[\).

2 Intégrale d’un polynôme ★★★

Calcule \(\displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,dx\).

3 Trois intégrales usuelles ★★★

Calcule \(A = \displaystyle\int_0^{\pi} \sin t\,dt\), \(B = \displaystyle\int_1^{e} \dfrac{dt}{t}\) et \(C = \displaystyle\int_0^1 e^{3t}\,dt\).

4 Aire sous une parabole ★★★

Calcule l’aire (en unités d’aire) du domaine situé entre la courbe de \(f(x) = 4x - x^2\) et l’axe des abscisses, pour \(x \in [0\,;4]\).

5 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie. a) \(\displaystyle\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0\). b) \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx \leq \int_0^1 x\,dx\). c) Si \(f\) est continue et \(\displaystyle\int_0^2 f = 0\), alors \(f\) est nulle sur \([0\,;2]\).

6 Chasles et linéarité ★★★

Les fonctions \(f\) et \(g\) sont continues sur \([0\,;5]\) avec \(\displaystyle\int_0^2 f = 5\), \(\displaystyle\int_2^5 f = -3\) et \(\displaystyle\int_0^5 g = 4\). Calcule \(\displaystyle\int_0^5 f\), \(\displaystyle\int_5^0 f\) et \(\displaystyle\int_0^5 (2f - 3g)\).

7 Valeur moyenne ★★★

Calcule la valeur moyenne de \(f(x) = 2x + 1\) sur \([1\,;4]\).

8 Une intégration par parties ★★★

Calcule \(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{2x}\,dx\).

9 Un logarithme à intégrer ★★★

Calcule \(\displaystyle\int_1^e x^2\ln x\,dx\).

10 Un changement de variable ★★★

Calcule \(\displaystyle\int_0^1 x(1 + x^2)^3\,dx\) à l’aide de \(u = 1 + x^2\).

11 Équation homogène ★★★

Résous \(y^{\prime} - 2y = 0\) sur \(\mathbb{R}\) avec \(y(1) = 3\).

12 Ordre 2 : deux racines réelles ★★★

Résous \(y^{\prime\prime} - 5y^{\prime} + 6y = 0\) avec \(y(0) = 1\) et \(y^{\prime}(0) = 0\).

13 Primitives de fonctions composées ★★★

Donne une primitive de : a) \(\dfrac{x}{x^2+1}\) sur \(\mathbb{R}\) ; b) \(3x^2e^{x^3}\) sur \(\mathbb{R}\) ; c) \(\cos x\,\sin^3 x\) sur \(\mathbb{R}\) ; d) \(\dfrac{1}{2x+3}\) sur \(]-\tfrac32\,;+\infty[\).

14 Une somme de Riemann exacte ★★★

Soit \(S_n = \dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac kn\right)^2\). Exprime \(S_n\) en fonction de \(n\) à l’aide de \(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\), calcule \(S_{10}\), puis détermine la limite de \(S_n\).

15 Un oscillateur sans frottement ★★★

Un ressort vérifie \(y^{\prime\prime} + 9y = 0\) avec \(y(0) = 2\) et \(y^{\prime}(0) = 6\). Détermine \(y\), puis son amplitude.

16 Intégrer deux fois par parties ★★★

Calcule \(I = \displaystyle\int_0^{\pi} e^{x}\sin x\,dx\).

17 Une intégrale avec exponentielle ★★★

Calcule \(\displaystyle\int_0^1 \dfrac{dx}{e^{x} + 1}\). Indice : multiplie numérateur et dénominateur par \(e^{-x}\).

18 Limite par sommes de Riemann ★★★

Soit \(u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n+k}\). a) Calcule \(u_2\). b) Écris \(u_n\) comme une somme de Riemann et détermine sa limite.

19 Approcher e par Taylor ★★★

Pour \(x \in [0\,;1]\), la formule de Taylor avec reste intégral en \(0\) donne \(e^{x} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{x^k}{k!} + R_n(x)\). a) Montre que \(0 \leq R_n(1) \leq \dfrac{3}{(n+1)!}\). b) Trouve le plus petit \(n\) tel que cette majoration soit inférieure à \(10^{-3}\), puis encadre \(e\).

20 Équation d’ordre 1 avec second membre ★★★

Résous \(y^{\prime} + y = x\,e^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\) avec \(y(0) = 3\), par la méthode de variation de la constante.

21 Ordre 2 avec second membre ★★★

Résous \(y^{\prime\prime} - 3y^{\prime} + 2y = 4e^{3x}\) avec \(y(0) = 0\) et \(y^{\prime}(0) = 0\).

22 Une suite d’intégrales ★★★

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^{x}\,dx\). a) Calcule \(I_0\). b) Démontre que \(I_n = e - n\,I_{n-1}\) pour \(n \geq 1\). c) Déduis-en \(I_1\), \(I_2\) et \(I_3\).