Dérivation et développements limités : corrigé du contrôle de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Dérivées et tangente / 4 pts

a) \( f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1} \) (1 pt).

b) \( g'(x)=2xe^{-x}-(x^2+1)e^{-x}=-(x-1)^2e^{-x} \) (1 pt).

c) \( h'(x)=\dfrac{3}{1+9x^2} \) (1 pt).

d) \( f(1)=\ln2 \), \( f'(1)=1 \) : \( y=\ln2+x-1 \) (1 pt).

2 Théorème de Rolle / 3 pts

a) \( f \) polynomiale donc continue et dérivable ; \( f(-2)=-8+8=0 \) et \( f(2)=8-8=0 \) (1 pt).

b) \( f'(c)=3c^2-4=0\iff c=\pm\dfrac{2}{\sqrt3} \) (1 pt) ; ces valeurs (environ \( \pm1{,}15 \)) sont dans \( ]-2,2[ \) (1 pt).

3 Inégalité des accroissements finis / 3 pts

\( \arctan \) est continue sur \( [0,x] \) et dérivable sur \( ]0,x[ \) (1 pt). Il existe \( c\in\,]0,x[ \) tel que \( \arctan x-\arctan0=\dfrac{x}{1+c^2} \) (1 pt). Comme \( 1+c^2>1 \), \( \dfrac{x}{1+c^2}

4 Produit et quotient de DL / 4 pts

a) \( e^x=1+x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}6+o(x^3) \) ; \( \dfrac1{1+x}=1-x+x^2-x^3+o(x^3) \) (1 pt).

b) Coefficients : \( x^0 \) : \( 1 \) ; \( x^1 \) : \( 1-1=0 \) ; \( x^2 \) : \( \dfrac12-1+1=\dfrac12 \) ; \( x^3 \) : \( \dfrac16-\dfrac12+1-1=-\dfrac13 \). Donc \( f(x)=1+\dfrac{x^2}2-\dfrac{x^3}3+o(x^3) \) (2 pts).

c) \( \dfrac{f(x)-1}{x^2}=\dfrac12-\dfrac x3+o(x)\to\dfrac12 \) (1 pt).

5 Une limite / 3 pts

\( x-\sin x=\dfrac{x^3}6+o(x^3) \) (1 pt). \( \tan x=x+o(x) \) donc \( x^2\tan x=x^3+o(x^3) \) (1 pt). Le quotient tend vers \( \dfrac16 \) (1 pt).

6 Convexité / 3 pts

a) \( f'(x)=\ln x+1 \) et \( f''(x)=\dfrac1x>0 \) : \( f \) est convexe (2 pts).

b) \( f\left(\dfrac52\right)=2{,}5\ln2{,}5\approx2{,}29 \) et \( \dfrac{f(1)+f(4)}{2}=2\ln4\approx2{,}77 \), donc \( 2{,}29\le2{,}77 \) : l’inégalité est vérifiée (1 pt).