Arithmétique et polynômes : contrôle de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Division et PGCD / 4 pts

Calculatrice non autorisée.

1. Effectue la division euclidienne de \(3482\) par \(47\).
2. Calcule \(2310 \wedge 546\) par l’algorithme d’Euclide.
3. Détermine des entiers \(u, v\) tels que \(2310u + 546v = 2310 \wedge 546\).

2 Décomposition et diviseurs / 3 pts

1. Décompose \(4680\) en produit de facteurs premiers.
2. En déduire son nombre de diviseurs positifs.

3 Équation diophantienne / 3 pts

Résous dans \(\mathbb{Z}^2\) l’équation \(11x + 7y = 3\).

4 Division de polynômes / 4 pts

Soit \(A = X^4 - 2X^3 + X - 3\) et \(B = X^2 + X + 1\).

1. Effectue la division euclidienne de \(A\) par \(B\).
2. Sans nouvelle division, donne le reste de la division de \(A\) par \(X - 2\).

5 Multiplicité et factorisation / 3 pts

Soit \(P = X^3 - 6X^2 + 9X - 4\).

1. Montre que \(1\) est racine double de \(P\).
2. Factorise \(P\) dans \(\mathbb{R}[X]\).

6 Factorisation et relations coefficients-racines / 3 pts

1. Factorise \(X^4 - 16\) dans \(\mathbb{R}[X]\) puis dans \(\mathbb{C}[X]\).
2. Les racines de \(X^2 - 4X + 13\) sont \(2 + 3i\) et \(2 - 3i\). Vérifie les relations somme-produit.