Arithmétique et polynômes : exercices corrigés de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Billes en sacs ★★★

On cherche le plus grand multiple de \(53\) inférieur à \(2457\) : \(53 \times 46 = 2438\) et \(53 \times 47 = 2491 > 2457\).

Donc \(2457 = 53 \times 46 + 19\) avec \(0 \leq 19 < 53\).

Le collectionneur remplit \(46\) sacs complets et il lui reste \(19\) billes.

2 Dividende négatif ★★★

Le reste doit être positif : le multiple de \(8\) situé juste sous \(-123\) est \(8 \times (-16) = -128\).

\(-123 = 8 \times (-16) + 5\) avec \(0 \leq 5 < 8\) : quotient \(-16\), reste \(5\).

3 Carrelage ★★★

Le côté du carreau divise \(168\) et \(126\) : on cherche leur PGCD.

\(168 = 1 \times 126 + 42\) ; \(126 = 3 \times 42 + 0\). Le dernier reste non nul est \(42\).

Les carreaux mesurent \(42\) cm de côté. On en place \(168 / 42 = 4\) dans la longueur et \(126 / 42 = 3\) dans la largeur, soit \(4 \times 3 = 12\) carreaux.

4 Vrai ou faux en arithmétique ★★★

1. Faux : \(91 = 7 \times 13\).
2. Vrai : tout entier pair supérieur à \(2\) est divisible par \(2\) et par lui-même, donc non premier.
3. Faux : \(6\) divise \(2 \times 3\) mais ne divise ni \(2\) ni \(3\). Ce résultat n’est valable que pour un nombre premier.
4. Faux : un nombre premier est supérieur ou égal à \(2\) ; \(1\) n’a qu’un seul diviseur positif.

5 Degrés de polynômes ★★★

\(A + B = (X^4 - X^4) + X^2 - 3X + 1 = X^2 - 3X + 1\) : le degré est \(2\), plus petit que \(\max(4, 4) = 4\) car les termes dominants se compensent.

Pour le produit, \(\deg(AB) = \deg A + \deg B = 4 + 4 = 8\).

6 Racines de x³ − 4x ★★★

\(P = X(X^2 - 4) = X(X - 2)(X + 2)\). Les racines sont \(-2\), \(0\) et \(2\), toutes simples (trois racines pour un degré \(3\)).

Sur la courbe : \(P(x) > 0\) pour \(x \in\ ]-2, 0[\ \cup\ ]2, +\infty[\) et \(P(x) < 0\) pour \(x \in\ ]-\infty, -2[\ \cup\ ]0, 2[\). Vérification : \(P(1) = -3 < 0\) et \(P(-1) = 3 > 0\).

7 Somme et produit ★★★

a) La somme des racines est \(9\) et leur produit \(20\) : ce sont \(4\) et \(5\) (\(4 + 5 = 9\), \(4 \times 5 = 20\)). Donc \(X^2 - 9X + 20 = (X - 4)(X - 5)\).

b) Ce sont les racines de \(X^2 - 13X + 40\), de discriminant \(169 - 160 = 9\) : \(x = \dfrac{13 \pm 3}{2}\), soit \(5\) et \(8\).

8 Puissance et reste ★★★

On a \(2^3 = 8 = 7 + 1\), donc \(2^3\) a pour reste \(1\) dans la division par \(7\), et il en est de même de toute puissance de \(2^3\).

\(100 = 3 \times 33 + 1\), donc \(2^{100} = (2^3)^{33} \times 2\) a le même reste que \(1 \times 2\). Le reste est \(2\).

9 PGCD et coefficients de Bézout ★★★

a) \(1785 = 3 \times 546 + 147\) ; \(546 = 3 \times 147 + 105\) ; \(147 = 1 \times 105 + 42\) ; \(105 = 2 \times 42 + 21\) ; \(42 = 2 \times 21 + 0\). Le PGCD est \(21\).

b) On remonte : \(21 = 105 - 2 \times 42 = 105 - 2(147 - 105) = 3 \times 105 - 2 \times 147\) ; puis \(105 = 546 - 3 \times 147\) donne \(21 = 3 \times 546 - 11 \times 147\) ; enfin \(147 = 1785 - 3 \times 546\) donne \(21 = 36 \times 546 - 11 \times 1785\).

Donc \(u = -11\) et \(v = 36\). Contrôle : \(36 \times 546 = 19656\), \(11 \times 1785 = 19635\), la différence vaut \(21\).

10 Équation diophantienne ★★★

Algorithme d’Euclide : \(14 = 9 + 5\), \(9 = 5 + 4\), \(5 = 4 + 1\). On remonte : \(1 = 5 - 4 = 5 - (9 - 5) = 2 \times 5 - 9 = 2(14 - 9) - 9 = 2 \times 14 - 3 \times 9\).

En multipliant par \(5\) : \(14 \times 10 + 9 \times (-15) = 5\). Une solution plus simple est \((1, -1)\) : \(14 - 9 = 5\).

Si \((x, y)\) est solution, \(14(x - 1) = -9(y + 1)\). Comme \(14 \wedge 9 = 1\), le théorème de Gauss donne \(9 \mid x - 1\), soit \(x = 1 + 9k\), puis \(y = -1 - 14k\).

Réciproquement ces couples conviennent : \(14(1 + 9k) + 9(-1 - 14k) = 5\). Ensemble des solutions : \(\{(1 + 9k, -1 - 14k) \mid k \in \mathbb{Z}\}\).

11 Application du théorème de Gauss ★★★

a) \(9 = 2 \times 4 + 1\), donc \(9 \wedge 4 = 1\). Comme \(9 \mid 4n\) et \(9 \wedge 4 = 1\), le théorème de Gauss donne \(9 \mid n\).

b) Non : \(12 \wedge 6 = 6 \neq 1\), Gauss ne s’applique pas. Contre-exemple : \(n = 2\), \(6n = 12\) est divisible par \(12\), mais \(2\) ne l’est pas.

12 Nombre de diviseurs ★★★

\(360 = 8 \times 45 = 2^3 \times 3^2 \times 5\).

Un diviseur positif s’écrit \(2^a 3^b 5^c\) avec \(0 \leq a \leq 3\), \(0 \leq b \leq 2\), \(0 \leq c \leq 1\) (unicité de la décomposition), soit \(4 \times 3 \times 2 = 24\) diviseurs.

13 Division de polynômes ★★★

On écrit \(A = 2X^4 - X^3 + 0X^2 + 3X - 1\).

1. \(2X^2 \cdot B = 2X^4 - 2X^3 + 4X^2\) ; reste partiel \(X^3 - 4X^2 + 3X - 1\).

2. \(X \cdot B = X^3 - X^2 + 2X\) ; reste partiel \(-3X^2 + X - 1\).

3. \(-3 \cdot B = -3X^2 + 3X - 6\) ; reste \(-2X + 5\), de degré \(1 < 2\).

Donc \(Q = 2X^2 + X - 3\) et \(R = -2X + 5\). Contrôle : \(BQ = 2X^4 - X^3 + 5X - 6\), et en ajoutant \(R\) on retrouve \(A\).

14 Racine double ★★★

\(P(2) = 8 - 12 + 4 = 0\). \(P' = 3X^2 - 6X\) donc \(P'(2) = 12 - 12 = 0\). \(P'' = 6X - 6\) donc \(P''(2) = 6 \neq 0\) : la multiplicité est exactement \(2\).

Donc \(P = (X - 2)^2 (X - a)\). En comparant les termes constants, \(4 \cdot (-a) = 4\), soit \(a = -1\). On vérifie : \((X^2 - 4X + 4)(X + 1) = X^3 - 3X^2 + 4\).

Conclusion : \(P = (X - 2)^2 (X + 1)\).

15 Coefficients inconnus ★★★

\(P\) divisible par \(X - 1\) équivaut à \(P(1) = 0\), soit \(1 + a + b - 6 = 0\), donc \(a + b = 5\).

\(P\) divisible par \(X + 2\) équivaut à \(P(-2) = 0\), soit \(-8 + 4a - 2b - 6 = 0\), donc \(2a - b = 7\).

En additionnant : \(3a = 12\), \(a = 4\) et \(b = 1\).

\(P = X^3 + 4X^2 + X - 6\). Divisible par \((X - 1)(X + 2) = X^2 + X - 2\) (racines distinctes), le quotient est de degré \(1\) et unitaire : \(X + 3\), puisque le terme constant impose \((-2)\cdot 3 = -6\). Donc \(P = (X - 1)(X + 2)(X + 3)\).

16 Factorisation de X⁴ + X² + 1 ★★★

a) \(X^4 + X^2 + 1 = (X^2 + 1)^2 - X^2 = (X^2 + 1 - X)(X^2 + 1 + X)\).

b) Les deux facteurs ont pour discriminant \(1 - 4 = -3 < 0\) : ils sont irréductibles dans \(\mathbb{R}[X]\), la factorisation obtenue en a) est donc la factorisation réelle complète.

Dans \(\mathbb{C}[X]\), les racines de \(X^2 + X + 1\) sont \(\dfrac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}\) et celles de \(X^2 - X + 1\) sont \(\dfrac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}\) ; le polynôme est le produit des quatre facteurs \(X - z\) correspondants.

17 Fonctions symétriques ★★★

Relations : \(\sigma_1 = 2\), \(\sigma_2 = 3\), \(\sigma_3 = -(-5) = 5\).

\(a^2 + b^2 + c^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2 = 4 - 6 = -2\).

\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{ab + ac + bc}{abc} = \dfrac{\sigma_2}{\sigma_3} = \dfrac{3}{5}\).

Une somme de carrés négative est impossible pour des réels : au moins une racine n’est pas réelle. Comme \(P\) est réel de degré \(3\), il a une racine réelle et deux racines complexes conjuguées.

18 Racines en progression arithmétique ★★★

Note les racines \(r - d\), \(r\), \(r + d\). Leur somme vaut \(12\) : \(3r = 12\), donc \(r = 4\).

Leur produit vaut \(48\) : \(r(r^2 - d^2) = 4(16 - d^2) = 48\), donc \(d^2 = 4\), \(d = \pm 2\).

Les racines sont \(2\), \(4\) et \(6\). Vérification avec \(\sigma_2\) : \(8 + 12 + 24 = 44\), valeur du coefficient.

19 Trois nombres premiers consécutifs impairs ★★★

Modulo \(3\), les nombres \(p\), \(p + 2\) et \(p + 4\) ont pour restes \(r\), \(r + 2\), \(r + 1\) : ils parcourent les trois restes \(0, 1, 2\). L’un des trois est donc divisible par \(3\) ; étant premier, il est égal à \(3\).

\(p = 3\) convient (\(3, 5, 7\)). \(p + 2 = 3\) ou \(p + 4 = 3\) donnerait \(p = 1\) ou \(p = -1\), exclus.

Conclusion : la seule solution est \(p = 3\).

20 Somme et PGCD imposés ★★★

Comme \(15\) divise \(a\) et \(b\), on pose \(a = 15a'\), \(b = 15b'\) avec \(a' \wedge b' = 1\). Alors \(a' + b' = 12\) et \(a' < b'\).

Les couples possibles : \((1, 11)\), \((2, 10)\), \((3, 9)\), \((4, 8)\), \((5, 7)\). Seuls \((1, 11)\) et \((5, 7)\) sont formés d’entiers premiers entre eux.

Solutions : \((a, b) = (15, 165)\) et \((75, 105)\).

21 Reste d’une division par X² − 1 ★★★

Le reste est de degré \(\leq 1\) : \(P = (X^2 - 1)Q + aX + b\). Évaluons en \(1\) et en \(-1\), racines de \(X^2 - 1\).

\(P(1) = 1 + 3 - 2 = 2 = a + b\) et \(P(-1) = 1 - 3 - 2 = -4 = -a + b\).

En additionnant, \(2b = -2\), \(b = -1\), puis \(a = 3\). Le reste est \(3X - 1\).