Probabilités et variables aléatoires discrètes : corrigé du contrôle de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Cours et inégalités / 3 pts

(a) Si \(X\ge0\) admet une espérance, pour tout \(a>0\), \(\mathbb{P}(X\ge a)\le\dfrac{\mathbb{E}(X)}a\). (1 pt)

(b) \(\mathbb{P}(X\ge24)\le\dfrac6{24}=\dfrac14\). (1 pt)

(c) Bienaymé-Tchebychev : \(\mathbb{P}(|Y-10|\ge5)\le\dfrac4{25}=0{,}16\). (1 pt)

2 Une loi sur les entiers / 4 pts

(a) Les termes sont positifs et \(\sum\dfrac n{2^{n+1}}=\dfrac12\times\dfrac{1/2}{(1/2)^2}=\dfrac12\times2=1\). (1 pt)

(b) \(\mathbb{P}(X=1)=\dfrac14\), \(\mathbb{P}(X=2)=\dfrac28=\dfrac14\), donc \(\mathbb{P}(X\ge3)=1-\dfrac12=\dfrac12\). (1 pt)

(c) \(\mathbb{E}(X)=\dfrac12\sum n^2\left(\dfrac12\right)^n=\dfrac12\times\dfrac{(1/2)(3/2)}{(1/2)^3}=\dfrac12\times6=3\). (2 pts)

3 Capteurs défaillants / 4 pts

(a) \(X\sim\mathcal{B}(150;0{,}02)\), \(\mathbb{E}(X)=3\), \(\mathrm{V}(X)=150\times0{,}02\times0{,}98=2{,}94\). (2 pts)

(b) Poisson de paramètre \(\lambda=np=3\) (1 pt). \(\mathbb{P}(X=0)\approx e^{-3}\approx0{,}050\) ; \(\mathbb{P}(X\ge2)\approx1-e^{-3}-3e^{-3}=1-4e^{-3}\approx0{,}801\). (1 pt)

4 Fonction génératrice / 4 pts

(a) \(G(1)=\dfrac1{4-3}=1\). (0,5 pt)

(b) \(G(t)=\dfrac t4\cdot\dfrac1{1-\frac34t}=\dfrac14\sum_{n\ge1}\left(\dfrac34\right)^{n-1}t^n\), donc \(\mathbb{P}(X=n)=\dfrac14\left(\dfrac34\right)^{n-1}\) : \(X\sim\mathcal{G}(\tfrac14)\). (1,5 pt)

(c) \(G'(t)=\dfrac4{(4-3t)^2}\), \(G'(1)=4=\mathbb{E}(X)\) (1 pt). \(G''(t)=\dfrac{24}{(4-3t)^3}\), \(G''(1)=24\), \(\mathrm{V}(X)=24+4-16=12\). (1 pt)

5 Somme de deux tirages / 3 pts

(a) \(\mathbb{P}(S=2)=\mathbb{P}(S=6)=\dfrac19\), \(\mathbb{P}(S=3)=\mathbb{P}(S=5)=\dfrac29\), \(\mathbb{P}(S=4)=\dfrac39=\dfrac13\). (1,5 pt)

(b) \(\mathbb{E}(S)=2+2=4\) (0,5 pt). \(\mathrm{V}(X)=\dfrac{3^2-1}{12}=\dfrac23\) donc, par indépendance, \(\mathrm{V}(S)=\dfrac43\). (1 pt)

6 Vrai ou faux / 2 pts

(a) Faux : \(X\) uniforme sur \(\{-1,0,1\}\) et \(Y=X^2\) ont une covariance nulle mais \(\mathbb{P}(X=0,Y=1)=0\neq\dfrac13\times\dfrac23\). (1 pt)

(b) Vrai : les événements « pas de pile en \(n\) lancers » ont pour probabilité \(2^{-n}\) et forment une suite décroissante ; par continuité monotone, la probabilité de leur intersection est \(\lim2^{-n}=0\). (1 pt)