Probabilités et variables aléatoires discrètes : exercices corrigés de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Une loi à normaliser ★★★

La somme des probabilités vaut 1 : \(c(1+2+3+4+5)=15c=1\), donc \(c=\dfrac1{15}\).

\(\mathbb{P}(X\ge4)=\dfrac{4+5}{15}=\dfrac35\).

\(\mathbb{E}(X)=\sum_{k=1}^5k\cdot\dfrac k{15}=\dfrac{1+4+9+16+25}{15}=\dfrac{55}{15}=\dfrac{11}3\).

2 Lancers francs ★★★

On répète 5 épreuves indépendantes de même probabilité de succès : \(X\sim\mathcal{B}(5;0{,}7)\).

\(\mathbb{P}(X=4)=\dbinom54(0{,}7)^4(0{,}3)=5\times0{,}2401\times0{,}3=0{,}36015\).

\(\mathbb{P}(X\ge1)=1-\mathbb{P}(X=0)=1-0{,}3^5=1-0{,}00243=0{,}99757\).

Elle réussit donc au moins un panier avec une probabilité d’environ \(99{,}8\ \%\).

3 Atterrissage d’un drone ★★★

\(X\sim\mathcal{G}(\tfrac14)\) avec \(q=\dfrac34\).

\(\mathbb{P}(X=3)=q^2p=\dfrac9{16}\times\dfrac14=\dfrac9{64}\).

\(\mathbb{P}(X>5)=q^5=\dfrac{243}{1024}\) (les cinq premières tentatives échouent).

\(\mathbb{E}(X)=\dfrac1p=4\) tentatives en moyenne.

4 Messages reçus ★★★

\(\mathbb{P}(X=0)=e^{-2}\approx0{,}135\).

\(\mathbb{P}(X=2)=e^{-2}\dfrac{2^2}{2!}=2e^{-2}\approx0{,}271\).

\(\mathbb{P}(X\ge1)=1-e^{-2}\approx0{,}865\).

Le diagramme donne les probabilités en pourcentage pour \(k\) de 0 à 7 ; les valeurs \(k=1\) et \(k=2\) sont en tête, à égalité avec \(27{,}1\ \%\) chacune, tandis que \(k=0\) vaut \(13{,}5\ \%\).

5 Dé à douze faces ★★★

\(X\) suit la loi uniforme sur \(\{1,\dots,12\}\) donc \(\mathbb{E}(X)=\dfrac{12+1}{2}=6{,}5\) euros.

\(\mathrm{V}(X)=\dfrac{12^2-1}{12}=\dfrac{143}{12}\approx11{,}92\), soit un écart type d’environ \(3{,}45\) euros.

6 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai. \(\mathbb{P}(A\cup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\cap B)\le\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)\).
2. Faux. Avec \(\mathbb{P}(X=k)=\dfrac1{k(k+1)}\), la série \(\sum k\,\mathbb{P}(X=k)=\sum\dfrac1{k+1}\) diverge.
3. Vrai. La covariance est nulle, donc \(\mathrm{V}(X+Y)=\mathrm{V}(X)+\mathrm{V}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{V}(X)+\mathrm{V}(Y)\).
4. Faux. Contre-exemple : \(X\) uniforme sur \(\{-1,0,1\}\), \(Y=X^2\). La covariance est nulle, mais \(\mathbb{P}(X=0,Y=1)=0\neq\dfrac13\times\dfrac23\).

7 Une loi en puissances de 3 ★★★

\(\sum_{n\ge0}3^{-n}=\dfrac1{1-1/3}=\dfrac32\), donc \(a\times\dfrac32=1\) et \(a=\dfrac23\).

\(\mathbb{P}(X\ge2)=\dfrac23\sum_{n\ge2}3^{-n}=\dfrac23\times\dfrac{1/9}{2/3}=\dfrac19\).

\(\mathbb{E}(X)=\dfrac23\sum_{n\ge0}n\,3^{-n}=\dfrac23\times\dfrac{1/3}{(2/3)^2}=\dfrac23\times\dfrac34=\dfrac12\).

8 Au moins un six ★★★

(a) Le complémentaire de \(A_n\) est « pas de 6 en \(n\) lancers » : \(\mathbb{P}(A_n)=1-\left(\dfrac56\right)^n\). La suite \((A_n)\) est croissante ; par continuité monotone, \(\mathbb{P}\big(\bigcup A_n\big)=\lim\mathbb{P}(A_n)=1\) : un 6 finit presque sûrement par sortir.

(b) On veut \(\left(\dfrac56\right)^n\le0{,}01\), soit \(n\ge\dfrac{\ln0{,}01}{\ln(5/6)}\approx25{,}26\). Le plus petit entier est \(n=26\) (on vérifie : \(1-(5/6)^{25}\approx0{,}9895<0{,}99\) et \(1-(5/6)^{26}\approx0{,}9913\)).

9 Fonction de répartition et transfert ★★★

(a) \(F(x)=0\) si \(x<1\) ; \(0{,}2\) si \(1\le x<2\) ; \(0{,}7\) si \(2\le x<3\) ; \(1\) si \(x\ge3\).

(b) \(\mathbb{P}(1

(c) \(Y=0\) si \(X=2\), \(Y=1\) si \(X\in\{1,3\}\) : \(\mathbb{P}(Y=0)=0{,}5\) et \(\mathbb{P}(Y=1)=0{,}2+0{,}3=0{,}5\). Ainsi \(Y\sim\mathcal{B}(0{,}5)\), \(\mathbb{E}(Y)=0{,}5\) et \(\mathrm{V}(Y)=0{,}5\times0{,}5=0{,}25\).

10 Puces défectueuses ★★★

\(X\sim\mathcal{B}(20;0{,}05)\), donc \(\mathbb{E}(X)=1\) et \(\mathrm{V}(X)=20\times0{,}05\times0{,}95=0{,}95\).

\(\mathbb{P}(X=0)=0{,}95^{20}\approx0{,}358\).

\(\mathbb{P}(X=1)=20\times0{,}05\times0{,}95^{19}\approx0{,}377\), donc \(\mathbb{P}(X\ge2)=1-0{,}358-0{,}377\approx0{,}264\).

11 Poisson contre binomiale ★★★

\(X\sim\mathcal{B}(400;0{,}005)\) et \(\lambda=400\times0{,}005=2\).

Valeur exacte : \(\dbinom{400}3(0{,}005)^3(0{,}995)^{397}\approx0{,}1809\).

Approximation : \(e^{-2}\dfrac{2^3}{3!}=\dfrac43e^{-2}\approx0{,}1804\).

L’écart est inférieur à \(10^{-3}\) : \(n\) est grand et \(p\) petit, l’approximation est excellente.

12 Décoder une fonction génératrice ★★★

\(G(t)=\left(\dfrac23+\dfrac13t\right)^3\) : c’est la fonction génératrice de \(\mathcal{B}(3,\tfrac13)\).

\(\mathbb{P}(X=2)=\dbinom32\left(\dfrac13\right)^2\dfrac23=\dfrac29\).

\(G'(t)=\dfrac{3(2+t)^2}{27}\), donc \(\mathbb{E}(X)=G'(1)=1\). \(G''(t)=\dfrac{6(2+t)}{27}\), donc \(G''(1)=\dfrac23\).

\(\mathrm{V}(X)=G''(1)+G'(1)-G'(1)^2=\dfrac23+1-1=\dfrac23\), ce qui coïncide avec \(npq=3\times\dfrac13\times\dfrac23\).

13 Fréquentation d’un site ★★★

(a) \(X\ge0\) : Markov donne \(\mathbb{P}(X\ge200)\le\dfrac{40}{200}=0{,}2\).

(b) Bienaymé-Tchebychev : \(\mathbb{P}(|X-40|\ge30)\le\dfrac{100}{900}=\dfrac19\).

(c) L’événement \(10

14 Loi conjointe ★★★

Lois marginales : \(\mathbb{P}(X=0)=0{,}4\), \(\mathbb{P}(X=1)=0{,}6\) ; \(\mathbb{P}(Y=0)=0{,}25\), \(\mathbb{P}(Y=1)=0{,}5\), \(\mathbb{P}(Y=2)=0{,}25\).

On vérifie les six produits : \(0{,}4\times0{,}25=0{,}10\), \(0{,}4\times0{,}5=0{,}20\), \(0{,}4\times0{,}25=0{,}10\), \(0{,}6\times0{,}25=0{,}15\), \(0{,}6\times0{,}5=0{,}30\), \(0{,}6\times0{,}25=0{,}15\). Tous coïncident avec le tableau : \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.

\(\mathbb{E}(X)=0{,}6\), \(\mathbb{E}(Y)=0{,}5+0{,}5=1\) et \(\mathbb{E}(XY)=0{,}30\times1+0{,}15\times2=0{,}6=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)\).

15 Somme de deux lois de Poisson ★★★

(a) \(\mathbb{P}(X+Y=n)=\sum_{k=0}^ne^{-2}\dfrac{2^k}{k!}e^{-3}\dfrac{3^{n-k}}{(n-k)!}=\dfrac{e^{-5}}{n!}\sum_{k=0}^n\dbinom nk2^k3^{n-k}=\dfrac{e^{-5}}{n!}(2+3)^n\) d’après la formule du binôme.

(b) \(\mathbb{P}(X+Y=4)=e^{-5}\dfrac{625}{24}\approx0{,}1755\).

(c) \(\mathbb{P}(X=1\mid X+Y=4)=\dfrac{\mathbb{P}(X=1)\mathbb{P}(Y=3)}{\mathbb{P}(X+Y=4)}=\dfrac{e^{-2}\cdot2\cdot e^{-3}\cdot27/6}{e^{-5}\cdot625/24}=\dfrac{9\times24}{625}=\dfrac{216}{625}=0{,}3456\). C’est \(\dbinom41\left(\dfrac25\right)\left(\dfrac35\right)^3\) : conditionnellement, \(X\) suit \(\mathcal{B}(4,\tfrac25)\).

16 Le plus rapide des deux ★★★

(a) \(\{T>n\}=\{X>n\}\cap\{Y>n\}\) ; par indépendance, \(\mathbb{P}(T>n)=\left(\dfrac23\right)^n\left(\dfrac34\right)^n=\left(\dfrac12\right)^n\). Comme \(\mathbb{P}(T=n)=\mathbb{P}(T>n-1)-\mathbb{P}(T>n)=\left(\dfrac12\right)^n\), \(T\sim\mathcal{G}(\tfrac12)\) et \(\mathbb{E}(T)=2\) jours.

(b) \(\mathbb{P}(X=Y)=\sum_{k\ge1}\left(\dfrac23\right)^{k-1}\dfrac13\left(\dfrac34\right)^{k-1}\dfrac14=\dfrac1{12}\sum_{k\ge1}\left(\dfrac12\right)^{k-1}=\dfrac1{12}\times2=\dfrac16\).

17 Maximum et minimum de deux dés ★★★

(a) \(\mathbb{P}(M\le k)=\dfrac{k^2}{16}\), donc \(\mathbb{P}(M=k)=\dfrac{k^2-(k-1)^2}{16}=\dfrac{2k-1}{16}\). Alors \(\mathbb{E}(M)=\dfrac{1\cdot1+2\cdot3+3\cdot5+4\cdot7}{16}=\dfrac{50}{16}=\dfrac{25}8\).

(b) \(\mathbb{E}(m)=\mathbb{E}(X_1)+\mathbb{E}(X_2)-\mathbb{E}(M)=5-\dfrac{25}8=\dfrac{15}8\).

(c) \(\mathbb{E}(Mm)=\mathbb{E}(X_1)\mathbb{E}(X_2)=\left(\dfrac52\right)^2=\dfrac{25}4\) par indépendance. Donc \(\mathrm{Cov}(M,m)=\dfrac{25}4-\dfrac{25}8\times\dfrac{15}8=\dfrac{400-375}{64}=\dfrac{25}{64}\). Les deux variables sont positivement corrélées, donc non indépendantes.

18 Retrouver une loi par sa fonction génératrice ★★★

(a) \(G(t)=\dfrac{t/2}{1-t/2}=\dfrac{pt}{1-qt}\) avec \(p=q=\dfrac12\) : \(X\sim\mathcal{G}(\tfrac12)\), \(\mathbb{E}(X)=2\), \(\mathrm{V}(X)=\dfrac{1/2}{1/4}=2\).

(b) \(G_S(t)=\dfrac{t^3}{(2-t)^3}=\dfrac{t^3}{8}\left(1-\dfrac t2\right)^{-3}=\dfrac{t^3}8\sum_{j\ge0}\dbinom{j+2}2\dfrac{t^j}{2^j}\). Le coefficient de \(t^n\) (avec \(j=n-3\)) est \(\dbinom{n-1}2\dfrac1{2^n}\).

\(\mathbb{P}(S=5)=\dbinom42\dfrac1{32}=\dfrac6{32}=\dfrac3{16}\). Par indépendance, \(\mathbb{E}(S)=3\times2=6\) et \(\mathrm{V}(S)=3\times2=6\).

19 Une population qui s’éclaircit ★★★

(a) Les \(\{N=n\}\) forment un système complet ; conditionnellement à \(N=n\), \(Y\sim\mathcal{B}(n,\tfrac12)\). La formule des probabilités totales donne le résultat (le terme est nul pour \(n

(b) \(\mathbb{P}(Y=k)=\sum_{n\ge k}e^{-4}\dfrac{4^n}{n!}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}2^{-n}=\dfrac{e^{-4}}{k!}\sum_{n\ge k}\dfrac{2^n}{(n-k)!}=\dfrac{e^{-4}2^k}{k!}\sum_{j\ge0}\dfrac{2^j}{j!}=e^{-2}\dfrac{2^k}{k!}\).

(c) \(\mathbb{P}(Y=0)=e^{-2}\approx0{,}135\). Le « amincissement » d’une loi de Poisson par des survies indépendantes reste une loi de Poisson.

20 Combien de lancers suffisent ? ★★★

\(M_n=\dfrac{X_1+\dots+X_n}n\) avec \(X_i\sim\mathcal{B}(\tfrac12)\) indépendantes : \(\mathbb{E}(M_n)=\dfrac12\), \(\mathrm{V}(M_n)=\dfrac{1/4}n\).

Bienaymé-Tchebychev : \(\mathbb{P}(|M_n-\tfrac12|\ge0{,}05)\le\dfrac{1/(4n)}{0{,}0025}=\dfrac{100}n\).

La condition \(\dfrac{100}n\le0{,}05\) équivaut à \(n\ge2000\). Il suffit donc de 2000 lancers (la borne est large : une étude fine donnerait bien moins).

21 Un jeu sans espérance ★★★

(a) \(\sum_{k\ge1}2^{-k}=1\). Mais \(\sum_k2^k\,\mathbb{P}(X=2^k)=\sum_k1\) diverge : pas d’espérance.

(b) \(\mathbb{E}(Y)=\sum_{k=1}^{10}2^k2^{-k}+2^{10}\,\mathbb{P}(X>2^{10})=10+2^{10}\times2^{-10}=10+1=11\) euros. Le plafond rend l’espérance finie : l’entrée équitable est 11 euros.