Complexes et polynômes : contrôle de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Forme trigonométrique / 3 pts

Soit \(z = \sqrt{3} - i\).

1. Calcule le module de \(z\) et donne un argument.
2. Écris \(z\) sous forme exponentielle.
3. Calcule \(z^6\).

2 Racines cubiques / 3 pts

Résous \(z^3 = -27\) dans \(\mathbb{C}\) et donne les solutions sous forme algébrique.

3 Division euclidienne / 3 pts

Soit \(A = X^4 + 2X^3 - X + 3\).

1. Effectue la division euclidienne de \(A\) par \(X^2 + X - 1\).
2. Sans poser de division, donne le reste de la division de \(A\) par \(X - 2\).

4 Racine double / 3 pts

Soit \(P = X^3 - 3X^2 + 4\).

1. Montre que \(2\) est racine double de \(P\).
2. Factorise \(P\) sur \(\mathbb{R}\).

5 PGCD / 3 pts

Soient \(A = X^3 + X^2 - X - 1\) et \(B = X^3 - X^2 - X + 1\). Calcule \(\operatorname{PGCD}(A, B)\) par l’algorithme d’Euclide.

6 Facteurs irréductibles / 2 pts

Décompose \(X^4 - 16\) en produit d’irréductibles sur \(\mathbb{R}\), puis sur \(\mathbb{C}\).

7 Fraction rationnelle / 3 pts

Décompose \(F = \dfrac{4X - 1}{(X - 1)(X + 2)}\) en éléments simples.