Complexes et polynômes : exercices corrigés de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Module et argument ★★★

\(|z| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\). On a \(\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\) et \(\sin\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\), donc \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\) (modulo \(2\pi\)).

Ainsi \(1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\).

2 Écrire des réels et imaginaires purs ★★★

\(z_1 = -3\) : module \(3\), argument \(\pi\), donc \(z_1 = 3(\cos\pi + i\sin\pi)\).

\(z_2 = 5i\) : module \(5\), argument \(\dfrac{\pi}{2}\), donc \(z_2 = 5\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right)\).

3 Retour à la forme algébrique ★★★

\(\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Donc \(z = 4 \times \dfrac{1}{2} + 4i \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2 + 2i\sqrt{3}\).

4 Un reste à calculer ★★★

\(X^2 \times (X + 2) = X^3 + 2X^2\) ; il reste \(-X + 4\). Puis \(-1 \times (X + 2) = -X - 2\) ; il reste \(6\), de degré \(0 < 1\).

Donc \(X^3 + 2X^2 - X + 4 = (X + 2)(X^2 - 1) + 6\).

5 Racine ou pas racine ★★★

\(P(2) = 4 - 10 + 6 = 0\) : oui. \(P(1) = 1 - 5 + 6 = 2 \neq 0\) : non.

Comme \(2\) est racine, \(P = (X - 2)(X - 3)\) (la somme des racines vaut \(5\), leur produit \(6\)).

6 Racines cubiques de l’unité ★★★

\(1 = e^{i0}\), donc \(z_k = e^{2ik\pi/3}\) pour \(k = 0, 1, 2\) : \(1\), \(e^{2i\pi/3}\), \(e^{4i\pi/3}\).

\(e^{2i\pi/3} = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(e^{4i\pi/3} = -\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

7 Factoriser avec une racine évidente ★★★

\(P(1) = 1 - 2 + 1 = 0\), donc \(X - 1\) divise \(P\). La division donne \(P = (X - 1)(X^2 + X - 1)\), car \((X - 1)(X^2 + X - 1) = X^3 + X^2 - X - X^2 - X + 1 = X^3 - 2X + 1\).

8 Produit et quotient ★★★

Les modules se multiplient et les arguments s’additionnent : \(z_1 z_2 = 6\,e^{i(\pi/4 + \pi/6)} = 6\,e^{i5\pi/12}\).

Pour le quotient : \(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{2}{3}\,e^{i(\pi/4 - \pi/6)} = \dfrac{2}{3}\,e^{i\pi/12}\).

9 Une puissance avec Moivre ★★★

\(1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\). D’après Moivre, \((1 + i)^8 = (\sqrt{2})^8\,e^{i8\pi/4} = 16\,e^{2i\pi} = 16\).

10 Racines quatrièmes de −16 ★★★

\(-16 = 16e^{i\pi}\), donc \(z_k = 2e^{i(\pi + 2k\pi)/4}\), \(k = 0, \dots, 3\), d’arguments \(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{4}\).

Comme \(2\cos\dfrac{\pi}{4} = \sqrt{2}\), on obtient \(S = \{\sqrt{2}(1 + i),\ \sqrt{2}(-1 + i),\ \sqrt{2}(-1 - i),\ \sqrt{2}(1 - i)\}\).

11 Division à diviseur de degré 2 ★★★

\(2X^2 \times B = 2X^4 - 2X^3 + 2X^2\) ; il reste \(-X^3 - 2X^2 + X - 5\). Puis \(-X \times B = -X^3 + X^2 - X\) ; il reste \(-3X^2 + 2X - 5\). Puis \(-3 \times B = -3X^2 + 3X - 3\) ; il reste \(-X - 2\), de degré \(1 < 2\).

\(Q = 2X^2 - X - 3\) et \(R = -X - 2\).

12 Multiplicité par les dérivées ★★★

\(P(2) = 16 - 32 + 12 + 8 - 4 = 0\). \(P' = 4X^3 - 12X^2 + 6X + 4\), \(P'(2) = 32 - 48 + 12 + 4 = 0\). \(P'' = 12X^2 - 24X + 6\), \(P''(2) = 6 \neq 0\) : multiplicité \(2\).

Alors \((X - 2)^2 = X^2 - 4X + 4\) divise \(P\), et \(P = (X^2 - 4X + 4)(X^2 - 1) = (X - 2)^2(X - 1)(X + 1)\).

13 PGCD par Euclide ★★★

\(B(X + 3) = X^3 - 7X + 6\), donc \(A = B(X + 3) + (6X - 6)\). Le reste est \(6(X - 1)\).

Or \(B = (X - 1)(X - 2)\) est divisible par \(X - 1\) : le reste suivant est nul. Le PGCD est donc \(X - 1\).

14 Vrai ou faux : irréductibilité ★★★

1. Vrai : \(\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\), pas de racine réelle.
2. Faux : sur \(\mathbb{C}\) seuls les polynômes de degré \(1\) sont irréductibles ; ici \(X^2 + X + 1 = (X - j)(X - j^2)\).
3. Faux : \(X^4 + 1 = (X^2 + 1)^2 - 2X^2 = (X^2 + \sqrt{2}X + 1)(X^2 - \sqrt{2}X + 1)\), produit de deux polynômes de degré \(2\).

15 Somme des racines sixièmes ★★★

\(\omega^6 = e^{2i\pi} = 1\) et \(\omega \neq 1\). Par la somme géométrique, \(\sum_{k=0}^{5} \omega^k = \dfrac{1 - \omega^6}{1 - \omega} = 0\).

Les racines sixièmes de \(64\) sont \(2\omega^k\) (\(k = 0, \dots, 5\)), car \(2^6 = 64\). Leur somme vaut \(2 \sum \omega^k = 0\).

16 Linéariser cos 3θ ★★★

Par Moivre, \((\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta\). En développant, la partie réelle est \(\cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta\). Avec \(\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta\), on obtient \(\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta\).

Pour \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\) : \(4 \times \dfrac{1}{8} - 3 \times \dfrac{1}{2} = -1 = \cos\pi\). Cohérent.

17 Polynôme réel avec racine complexe ★★★

Les coefficients étant réels, \(1 - 2i\) est aussi racine. Le produit \((X - (1 + 2i))(X - (1 - 2i)) = X^2 - 2X + 5\).

Donc \(P = (X - 3)(X^2 - 2X + 5) = X^3 - 5X^2 + 11X - 15\).

18 Un paramétrage de divisibilité ★★★

Les racines de \(X^2 + X + 1\) sont \(j\) et \(j^2\), avec \(j^3 = 1\) et \(1 + j + j^2 = 0\). La condition \(j^4 + aj^2 + b = 0\) s’écrit \(j + aj^2 + b = 0\). Comme \(j = -1 - j^2\), cela donne \((a - 1)j^2 + (b - 1) = 0\). Or \(j^2\) n’est pas réel, donc \(a = 1\) et \(b = 1\).

Vérification : \(X^4 + X^2 + 1 = (X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1)\).

19 Factoriser X⁴ + 4 ★★★

\(X^4 + 4 = (X^2 + 2)^2 - 4X^2 = (X^2 + 2X + 2)(X^2 - 2X + 2)\). Chaque facteur a pour discriminant \(4 - 8 = -4 < 0\) : ils sont irréductibles sur \(\mathbb{R}\).

Sur \(\mathbb{C}\), \(X^2 + 2X + 2 = (X + 1 - i)(X + 1 + i)\) et \(X^2 - 2X + 2 = (X - 1 - i)(X - 1 + i)\). Les quatre racines sont \(\pm 1 \pm i\).

20 Éléments simples, racines simples ★★★

On écrit \(F = \dfrac{a}{X - 1} + \dfrac{b}{X + 3}\). On a \(a = \dfrac{1 + 7}{1 + 3} = 2\) et \(b = \dfrac{-3 + 7}{-3 - 1} = -1\).

Donc \(F = \dfrac{2}{X - 1} - \dfrac{1}{X + 3}\). Contrôle : \(2(X + 3) - (X - 1) = X + 7\).

21 Éléments simples avec pôle double ★★★

En multipliant par \(X^2\) puis en prenant \(X = 0\) : \(b = \dfrac{1}{-1} = -1\). En multipliant par \(X - 1\) puis \(X = 1\) : \(c = \dfrac{3}{1} = 3\). Le coefficient en \(X^2\) du numérateur après réduction vaut \(a + c = 0\), donc \(a = -3\).

\(F = -\dfrac{3}{X} - \dfrac{1}{X^2} + \dfrac{3}{X - 1}\). Contrôle : \(-3X(X - 1) - (X - 1) + 3X^2 = 2X + 1\).

22 Une relation de Bézout ★★★

\(A - B = X^2 - 4X + 3 = (X - 1)(X - 3) = R_1\). Puis \(B = R_1 (X + 1) + (4X - 4)\), de reste \(4(X - 1)\). Enfin \(R_1 = (X - 1)(X - 3)\) est divisible par \(X - 1\) : PGCD \(= X - 1\).

En remontant : \(4(X - 1) = B - (X + 1)(A - B) = (X + 2)B - (X + 1)A\). Donc \(U = -\dfrac{X + 1}{4}\) et \(V = \dfrac{X + 2}{4}\).