22 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !
2 Écrire des réels et imaginaires purs ★★★
Écris sous forme trigonométrique \(z_1 = -3\) et \(z_2 = 5i\).
3 Retour à la forme algébrique ★★★
Écris sous forme algébrique \(z = 4\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\).
4 Un reste à calculer ★★★
Effectue la division euclidienne de \(X^3 + 2X^2 - X + 4\) par \(X + 2\).
5 Racine ou pas racine ★★★
Le nombre \(2\) est-il racine de \(P = X^2 - 5X + 6\) ? Même question pour \(1\). Factorise \(P\).
6 Racines cubiques de l’unité ★★★
Donne les solutions de \(z^3 = 1\) sous forme exponentielle, puis la forme algébrique de celles qui ne sont pas réelles.
7 Factoriser avec une racine évidente ★★★
Vérifie que \(1\) est racine de \(P = X^3 - 2X + 1\) et factorise \(P\) par \(X - 1\).
8 Produit et quotient ★★★
Soient \(z_1 = 2e^{i\pi/4}\) et \(z_2 = 3e^{i\pi/6}\). Donne \(z_1 z_2\) et \(\dfrac{z_1}{z_2}\) sous forme exponentielle.
9 Une puissance avec Moivre ★★★
Calcule \((1 + i)^8\).
10 Racines quatrièmes de −16 ★★★
Résous \(z^4 = -16\) dans \(\mathbb{C}\) et donne les solutions sous forme algébrique.
11 Division à diviseur de degré 2 ★★★
Effectue la division euclidienne de \(A = 2X^4 - 3X^3 + X - 5\) par \(B = X^2 - X + 1\).
12 Multiplicité par les dérivées ★★★
Soit \(P = X^4 - 4X^3 + 3X^2 + 4X - 4\). Montre que \(2\) est racine de multiplicité exactement \(2\), puis donne la factorisation de \(P\).
13 PGCD par Euclide ★★★
Calcule le PGCD de \(A = X^3 - X\) et \(B = X^2 - 3X + 2\).
14 Vrai ou faux : irréductibilité ★★★
Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifie : (a) \(X^2 + X + 1\) est irréductible sur \(\mathbb{R}\) ; (b) \(X^2 + X + 1\) est irréductible sur \(\mathbb{C}\) ; (c) \(X^4 + 1\) est irréductible sur \(\mathbb{R}\).
15 Somme des racines sixièmes ★★★
Soit \(\omega = e^{i\pi/3}\). Montre que \(\omega^6 = 1\) et que \(1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 + \omega^5 = 0\). Quelle est la somme des racines sixièmes de \(64\) ?
16 Linéariser cos 3θ ★★★
Développe \((\cos\theta + i\sin\theta)^3\) et déduis une expression de \(\cos 3\theta\) comme polynôme en \(\cos\theta\). Vérifie pour \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\).
17 Polynôme réel avec racine complexe ★★★
Détermine le polynôme unitaire de degré \(3\) à coefficients réels dont les racines sont \(3\) et \(1 + 2i\).
18 Un paramétrage de divisibilité ★★★
Détermine les réels \(a\) et \(b\) pour que \(X^2 + X + 1\) divise \(X^4 + aX^2 + b\). Factorise alors le polynôme.
19 Factoriser X⁴ + 4 ★★★
Factorise \(X^4 + 4\) en produit d’irréductibles sur \(\mathbb{R}\), puis sur \(\mathbb{C}\).
20 Éléments simples, racines simples ★★★
Décompose \(F = \dfrac{X + 7}{(X - 1)(X + 3)}\) en éléments simples.
21 Éléments simples avec pôle double ★★★
Décompose \(F = \dfrac{2X + 1}{X^2(X - 1)}\) sous la forme \(\dfrac{a}{X} + \dfrac{b}{X^2} + \dfrac{c}{X - 1}\).
22 Une relation de Bézout ★★★
Soient \(A = X^3 - 2X^2 - X + 2\) et \(B = (X - 1)^3\). Calcule leur PGCD par Euclide et trouve \(U, V\) tels que \(AU + BV = X - 1\).
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