1 Calculs directs / 4 pts
Calculer : a) \( \displaystyle\int_0^2(3x^2-x+1)\,dx \) ; b) \( \displaystyle\int_0^{\ln2}e^{3x}dx \) ; c) \( \displaystyle\int_{-1}^{1}(x^5+x^2)\,dx \).
2 Intégrations par parties / 4 pts
Calculer : a) \( \displaystyle\int_0^1(2x+1)e^{x}\,dx \) ; b) \( \displaystyle\int_1^2\dfrac{\ln x}{x^2}\,dx \).
3 Changements de variable / 4 pts
Calculer : a) \( \displaystyle\int_0^1x\sqrt{x^2+1}\,dx \) avec \( u=x^2+1 \) ; b) \( \displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{\cos x}{1+\sin^2x}\,dx \) avec \( u=\sin x \).
4 Fraction rationnelle / 4 pts
a) Décomposer \( \dfrac{x+5}{(x+1)(x+2)} \) en éléments simples. b) En déduire \( \displaystyle\int_0^1\dfrac{x+5}{(x+1)(x+2)}\,dx \).
5 Sommes de Riemann et intégrales généralisées / 4 pts
a) Déterminer la limite de \( v_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{n^2+k^2} \). b) Calculer \( \displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-2x}dx \). c) Montrer que \( \displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{\sqrt x} \) diverge.
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