Intégration et primitives : exercices corrigés de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Un polynôme sous l’intégrale ★★★

Une primitive de \( 2x+1 \) est \( x^2+x \). Donc \( I=[x^2+x]_0^3=(9+3)-0=12 \).

Réponse : \( I=12 \).

2 Primitive et calcul ★★★

On intègre terme à terme : \( F(x)=x^3-2x^2+5x \). Alors \( F(2)=8-8+10=10 \) et \( F(1)=1-2+5=4 \).

Réponse : \( \displaystyle\int_1^2 f=10-4=6 \).

3 Sinus et cosinus ★★★

Une primitive est \( -\cos x+\sin x \). En \( \pi \) : \( 1+0=1 \). En \( 0 \) : \( -1+0=-1 \).

Réponse : \( 1-(-1)=2 \).

4 Exponentielle composée ★★★

Une primitive de \( e^{2x} \) est \( \dfrac{e^{2x}}{2} \) (on dérive : \( \dfrac{2e^{2x}}{2}=e^{2x} \)).

Réponse : \( \dfrac{e^2}{2}-\dfrac12=\dfrac{e^2-1}{2} \).

5 Vrai ou faux : fonctions paires et impaires ★★★

a) Vrai. \( x^3 \) est impaire : \( \left[\dfrac{x^4}{4}\right]_{-1}^{1}=\dfrac14-\dfrac14=0 \).

b) Faux. \( x^2\geqslant0 \) et n’est pas nulle partout : \( \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\dfrac13+\dfrac13=\dfrac23\neq0 \).

6 Aire sous une courbe ★★★

Comme \( f>0 \), l’aire est \( \displaystyle\int_0^2(x^2+1)\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}+x\right]_0^2=\dfrac83+2=\dfrac{14}{3} \).

Réponse : \( \dfrac{14}{3}\approx4{,}67 \) unités d’aire.

7 Distance et vitesse moyenne ★★★

Distance : \( \displaystyle\int_0^3t^2\,dt=\left[\dfrac{t^3}{3}\right]_0^3=9 \) m.

Vitesse moyenne : \( \dfrac{1}{3-0}\times9=3 \) m/s.

Réponse : 9 m parcourus, vitesse moyenne 3 m/s.

8 Une première intégration par parties ★★★

Posons \( u=x \), \( v^{\prime}=\sin x \), donc \( u^{\prime}=1 \), \( v=-\cos x \).

\( \displaystyle\int_0^{\pi}x\sin x\,dx=[-x\cos x]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\cos x\,dx=\pi+[\sin x]_0^{\pi}=\pi+0 \).

Réponse : \( \pi \).

9 Intégrale du logarithme ★★★

Dérivée : \( \ln x+x\cdot\dfrac1x-1=\ln x \). C’est bien une primitive.

\( \displaystyle\int_1^{e}\ln x\,dx=[x\ln x-x]_1^{e}=(e-e)-(0-1)=1 \).

Réponse : \( 1 \).

10 Changement de variable rationnel ★★★

\( du=2x\,dx \). Les bornes passent de \( 0 \) à \( 3 \) et de \( 1 \) à \( 4 \).

\( \displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{x^2+3}dx=\dfrac12\int_3^4\dfrac{du}{u}=\dfrac12\ln\dfrac43 \).

Réponse : \( \dfrac12\ln\dfrac43\approx0{,}144 \).

11 Puissance de cosinus ★★★

\( du=-\sin x\,dx \) ; bornes : \( x=0\Rightarrow u=1 \), \( x=\dfrac\pi2\Rightarrow u=0 \).

\( \displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin x\cos^2x\,dx=-\int_1^0u^2du=\int_0^1u^2du=\dfrac13 \).

Réponse : \( \dfrac13 \).

12 Somme de Riemann explicite ★★★

a) \( S_4=\dfrac{1+4+9+16}{64}=\dfrac{30}{64}=\dfrac{15}{32} \).

b) \( S_n=\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^n\left(\dfrac kn\right)^2 \) est la somme de Riemann de \( x\mapsto x^2 \) sur \( [0\,;1] \), continue. Donc \( S_n\to\displaystyle\int_0^1x^2dx=\dfrac13 \).

Réponse : \( S_4=\dfrac{15}{32} \) et \( \lim S_n=\dfrac13 \).

13 Décomposition en éléments simples ★★★

On cherche \( \dfrac Ax+\dfrac B{x+2} \) : \( A=\dfrac12 \) (en \( x=0 \)) et \( B=-\dfrac12 \) (en \( x=-2 \)). Vérification : \( \dfrac12\cdot\dfrac{(x+2)-x}{x(x+2)}=\dfrac1{x(x+2)} \).

\( \displaystyle\int_1^3=\dfrac12\left[\ln\dfrac{x}{x+2}\right]_1^3=\dfrac12\left(\ln\dfrac35-\ln\dfrac13\right)=\dfrac12\ln\dfrac95 \).

Réponse : \( \dfrac12\ln\dfrac95 \).

14 Convergence de deux intégrales ★★★

Première : \( \displaystyle\int_1^A x^{-3}dx=\dfrac12-\dfrac1{2A^2}\to\dfrac12 \) : convergente, de valeur \( \dfrac12 \) (\( \alpha=3>1 \)).

Seconde : \( \displaystyle\int_1^A x^{-1/2}dx=2\sqrt A-2\to+\infty \) : divergente (\( \alpha=\dfrac12\leqslant1 \)).

15 Intégration par parties répétée ★★★

Première : \( u=x^2 \), \( v^{\prime}=e^x \) : \( \displaystyle\int_0^1x^2e^xdx=[x^2e^x]_0^1-2\int_0^1xe^xdx=e-2J \).

Seconde : \( J=\displaystyle\int_0^1xe^xdx=[xe^x]_0^1-\int_0^1e^xdx=e-(e-1)=1 \).

Réponse : \( e-2\approx0{,}718 \).

16 Exponentielle fois sinus ★★★

Par parties (\( u=\sin x \), \( v^{\prime}=e^x \)) : \( I=[e^x\sin x]_0^{\pi}-J=-J \).

Par parties (\( u=\cos x \), \( v^{\prime}=e^x \)) : \( J=[e^x\cos x]_0^{\pi}+I=-e^{\pi}-1+I \).

En remplaçant \( J=-I \) : \( -I=-e^{\pi}-1+I \), donc \( 2I=e^{\pi}+1 \).

Réponse : \( I=\dfrac{e^{\pi}+1}{2} \).

17 Aire du quart de disque ★★★

\( x=\sin t \), \( dx=\cos t\,dt \), \( t\in\left[0\,;\dfrac\pi2\right] \) ; \( \sqrt{1-\sin^2t}=\cos t \) car \( \cos t\geqslant0 \).

\( \displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^2t\,dt=\int_0^{\pi/2}\dfrac{1+\cos2t}{2}dt=\dfrac\pi4+\left[\dfrac{\sin2t}{4}\right]_0^{\pi/2}=\dfrac\pi4 \).

Réponse : \( \dfrac\pi4 \), l’aire d’un quart de disque de rayon 1.

18 Fraction rationnelle complète ★★★

On pose \( \dfrac A{x-1}+\dfrac B{x+2} \). En \( x=1 \) : \( A=\dfrac43 \). En \( x=-2 \) : \( B=\dfrac{-5}{-3}=\dfrac53 \). Contrôle : \( \dfrac{4(x+2)+5(x-1)}{3}=\dfrac{9x+3}{3}=3x+1 \).

\( \displaystyle\int_2^3=\dfrac43[\ln(x-1)]_2^3+\dfrac53[\ln(x+2)]_2^3=\dfrac43\ln2+\dfrac53\ln\dfrac54 \).

Réponse : \( \dfrac43\ln2+\dfrac53\ln\dfrac54 \).

19 Limite d’une somme ★★★

\( u_n=\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{1+k/n} \), somme de Riemann de \( f(x)=\dfrac1{1+x} \) sur \( [0\,;1] \).

\( u_n\to\displaystyle\int_0^1\dfrac{dx}{1+x}=[\ln(1+x)]_0^1=\ln2 \).

Réponse : \( \ln 2 \).

20 Une intégrale généralisée avec une exponentielle ★★★

Pour \( A>0 \) : par parties, \( \displaystyle\int_0^Axe^{-x}dx=[-xe^{-x}]_0^A+\int_0^Ae^{-x}dx=-Ae^{-A}+1-e^{-A} \).

Par croissances comparées, \( Ae^{-A}\to0 \) et \( e^{-A}\to0 \).

Réponse : l’intégrale converge et vaut \( 1 \).

21 Encadrement et limite ★★★

Pour \( x\in[0\,;1] \) : \( \dfrac12\leqslant\dfrac1{1+x}\leqslant1 \), donc \( \dfrac{x^n}2\leqslant\dfrac{x^n}{1+x}\leqslant x^n \).

Par positivité : \( \dfrac1{2(n+1)}\leqslant a_n\leqslant\dfrac1{n+1} \), car \( \displaystyle\int_0^1x^ndx=\dfrac1{n+1} \).

Réponse : les deux bornes tendent vers 0, donc \( a_n\to0 \).