Espaces vectoriels : exercices corrigés de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Sous-espace ou pas ? ★★★

\(A\) : contient \((0,0)\) et se paramètre par \((3y, y) = y(3,1)\) ; c’est \(\mathrm{Vect}((3,1))\), donc un sev.

\(B\) : \((0,0)\) ne vérifie pas \(x + y = 2\) ; ce n’est pas un sev.

\(C\) : \((1,0)\) et \((0,1)\) sont dans \(C\), mais leur somme \((1,1)\) vérifie \(xy = 1 \neq 0\). Ce n’est pas un sev.

2 Un plan comme Vect ★★★

Un élément de \(F\) s’écrit \((x,0,z) = x(1,0,0) + z(0,0,1)\). Donc \(F = \mathrm{Vect}((1,0,0),(0,0,1))\).

Ces deux vecteurs sont libres (chaque coordonnée non nulle est « privée » à l’un d’eux), donc forment une base de \(F\), et \(\dim F = 2\).

3 Colinéaires ou non ★★★

Dans la première, \((3,6) = 3(1,2)\) : relation \(3u - v = 0\), la famille est liée.

Dans la seconde, si \(a(1,2) + b(2,1) = 0\) alors \(a + 2b = 0\) et \(2a + b = 0\). En soustrayant deux fois la première à la seconde : \(-3b = 0\), donc \(b = 0\) puis \(a = 0\). La famille est libre.

4 Coordonnées dans une base ★★★

Deux vecteurs non colinéaires dans un espace de dimension \(2\) forment une base : \((1,-1)\) n’est pas multiple de \((1,1)\).

On cherche \(a, b\) avec \(a + b = 5\) et \(a - b = 1\), donc \(a = 3\) et \(b = 2\). Les coordonnées de \((5,1)\) sont \((3,2)\) : \((5,1) = 3(1,1) + 2(1,-1)\).

5 Dimensions à connaître ★★★

\(\dim \mathbb{R}_4[X] = 5\) (base \(1, X, X^2, X^3, X^4\)).

\(\dim \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R}) = 3 \times 2 = 6\).

Les éléments de \(\{x = t\}\) sont \((x,y,z,x) = x(1,0,0,1) + y(0,1,0,0) + z(0,0,1,0)\) : dimension \(3\).

\(\mathbb{C}\) a pour base \((1, i)\) sur \(\mathbb{R}\) : dimension \(2\).

6 Génératrice mais pas libre ★★★

Génératrice : \((1,0)\) et \((0,1)\) engendrent déjà \(\mathbb{R}^2\), donc la famille entière aussi.

Libre : non, car \(3\) vecteurs en dimension \(2\) forment toujours une famille liée. Explicitement, \((1,0) - (1,1) + (0,1) = (0,0)\).

7 Somme directe ? ★★★

\((2,4) = 2(1,2)\), donc \(G = F\) et \(F \cap G = F \neq \{0\}\) : la somme n’est pas directe.

Pour \(F\) et \(H\) : si \(t(1,2) = s(0,1)\), la première coordonnée donne \(t = 0\) puis \(s = 0\). Donc \(F \cap H = \{0\}\), la somme est directe, et comme \(1 + 1 = 2\) on a même \(\mathbb{R}^2 = F \oplus H\).

8 Une droite dans l’espace ★★★

La condition \(x - y = 0\) donne \(y = x\), puis \(x + x + z = 0\) donne \(z = -2x\). Ainsi \((x,y,z) = (x, x, -2x) = x(1,1,-2)\).

\(E_1 = \mathrm{Vect}((1,1,-2))\), avec \((1,1,-2) \neq 0\) : c’est une base, et \(\dim E_1 = 1\). Vérification : \(1 + 1 - 2 = 0\) et \(1 - 1 = 0\).

9 Polynômes qui s’annulent en 1 ★★★

Pour \(P = a + bX + cX^2 + dX^3\), la condition \(P(1) = 0\) s’écrit \(a + b + c + d = 0\), soit \(a = -b - c - d\). Donc \(P = b(X - 1) + c(X^2 - 1) + d(X^3 - 1)\).

Ainsi \(F = \mathrm{Vect}(X - 1, X^2 - 1, X^3 - 1)\) : c’est un sev. La famille est libre car ses polynômes ont des degrés distincts \(1, 2, 3\) (une combinaison nulle force d’abord \(d = 0\), puis \(c = 0\), puis \(b = 0\)). Base de \(F\) de \(3\) éléments, donc \(\dim F = 3\) (en accord avec \(\dim \mathbb{R}_3[X] - 1 = 3\)).

10 Un paramètre dans une famille ★★★

On étudie \(\alpha u + \beta v + \gamma w_m = 0\), c’est-à-dire \(\alpha + 2\beta + \gamma = 0\), \(2\alpha + \beta - \gamma = 0\), \(\alpha + 3\beta + m\gamma = 0\).

En additionnant les deux premières équations : \(3\alpha + 3\beta = 0\), donc \(\beta = -\alpha\). La première donne alors \(\gamma = \alpha\). La troisième devient \(\alpha - 3\alpha + m\alpha = (m - 2)\alpha = 0\).

Si \(m \neq 2\), alors \(\alpha = 0\), et tous les coefficients sont nuls : famille libre. Si \(m = 2\), \(\alpha\) est libre : par exemple \(u - v + w_2 = 0\) puisque \(w_2 = v - u\). La famille est liée si et seulement si \(m = 2\).

11 Une base de l’espace ★★★

Si \(a(1,1,0) + b(0,1,1) + c(1,0,1) = 0\), alors \(a + c = 0\), \(a + b = 0\), \(b + c = 0\). En additionnant : \(a + b + c = 0\), donc \(a = (a+b+c) - (b+c) = 0\), et de même \(b = c = 0\). La famille est libre, avec \(3 = \dim \mathbb{R}^3\) vecteurs : c’est une base.

Pour \((2,4,6)\) : \(a + c = 2\), \(a + b = 4\), \(b + c = 6\) donnent \(a + b + c = 6\), d’où \(b = 4\), \(c = 2\), \(a = 0\). Coordonnées : \((0,4,2)\).

12 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux en général : avec les axes \(D_1 = \mathrm{Vect}((1,0))\) et \(D_2 = \mathrm{Vect}((0,1))\), les vecteurs \((1,0)\) et \((0,1)\) sont dans \(D_1 \cup D_2\) mais pas leur somme \((1,1)\).
2. Vrai : \(0\) est dans les deux, et une combinaison linéaire de deux éléments de l’intersection reste dans chacun des deux sev.
3. Vrai : une famille libre de \(\mathbb{R}^3\) a au plus \(3\) vecteurs.
4. Vrai : une base de \(F\) est libre dans \(E\) avec \(\dim E\) éléments, donc c’est une base de \(E\), et \(F = E\).

13 Un supplémentaire du plan x + y + z = 0 ★★★

\(F\) est de dimension \(2\) : \((x,y,z) = (x, y, -x-y) = x(1,0,-1) + y(0,1,-1)\), famille libre de deux vecteurs. Et \(\dim G = 1\).

Si \((t,t,t) \in F\), alors \(3t = 0\), donc \(t = 0\) : \(F \cap G = \{0\}\). Comme \(\dim F + \dim G = 3 = \dim \mathbb{R}^3\), on conclut \(\mathbb{R}^3 = F \oplus G\).

14 Formule de Grassmann ★★★

\(\dim F = 3\) et \(\dim G = 2\). La somme \(F + G\) contient \(e_1, e_2, e_3, e_4\), donc \(F + G = \mathbb{R}^4\) et \(\dim(F + G) = 4\).

Grassmann : \(\dim(F \cap G) = 3 + 2 - 4 = 1\) ; on voit effectivement que \(F \cap G = \mathrm{Vect}(e_3)\). Comme l’intersection n’est pas réduite à \(\{0\}\), la somme n’est pas directe.

15 Compléter en une base de R^4 ★★★

On essaie \(e_1 = (1,0,0,0)\) et \(e_4 = (0,0,0,1)\). Supposons \(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 e_1 + \lambda_4 e_4 = 0\).

Troisième coordonnée : \(\lambda_2 = 0\). Deuxième : \(\lambda_1 + \lambda_2 = 0\), donc \(\lambda_1 = 0\). Première : \(2\lambda_1 + \lambda_3 = 0\), donc \(\lambda_3 = 0\). Quatrième : \(\lambda_1 + \lambda_4 = 0\), donc \(\lambda_4 = 0\).

Les quatre vecteurs forment une famille libre à \(4 = \dim \mathbb{R}^4\) éléments : \((v_1, v_2, e_1, e_4)\) est une base de \(\mathbb{R}^4\).

16 Un supplémentaire dans R^4 ★★★

En additionnant les deux équations : \(2(x + z) = 0\), donc \(z = -x\). En les soustrayant : \(2(y + t) = 0\), donc \(t = -y\). Ainsi \((x,y,z,t) = (x, y, -x, -y) = x(1,0,-1,0) + y(0,1,0,-1)\).

Ces deux vecteurs sont libres (coordonnées \(1\) et \(2\)), donc forment une base de \(F\), et \(\dim F = 2\).

Si un vecteur \((x,y,-x,-y)\) de \(F\) est dans \(G = \{z = t = 0\}\), alors \(-x = 0\) et \(-y = 0\) : \(F \cap G = \{0\}\). Et \(\dim F + \dim G = 4\), donc \(\mathbb{R}^4 = F \oplus G\).

17 Un changement de base polynomial ★★★

Les trois polynômes ont des degrés \(0, 1, 2\) distincts, donc la famille est libre : une combinaison nulle force à annuler d’abord le coefficient de \((X-1)^2\), puis celui de \(X - 1\), puis celui de \(1\). Elle a \(3 = \dim \mathbb{R}_2[X]\) éléments : c’est une base.

On cherche \(P = a + b(X - 1) + c(X - 1)^2 = cX^2 + (b - 2c)X + (a - b + c)\). Par identification : \(c = 1\), \(b - 2 = -3\) donc \(b = -1\), et \(a + 1 + 1 = 5\) donc \(a = 3\).

Coordonnées : \((3, -1, 1)\), c’est-à-dire \(P = 3 - (X - 1) + (X - 1)^2\).

18 Symétriques et antisymétriques ★★★

\(\mathcal{S}\) et \(\mathcal{A}\) sont des sev (conditions linéaires). Si \(M \in \mathcal{S} \cap \mathcal{A}\), alors \(M^{\top} = M = -M\), donc \(M = 0\) : somme directe.

Tout \(M\) s’écrit \(M = \dfrac{M + M^{\top}}{2} + \dfrac{M - M^{\top}}{2}\), avec le premier terme symétrique et le second antisymétrique : \(\mathcal{S} + \mathcal{A} = \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\). Donc \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) = \mathcal{S} \oplus \mathcal{A}\) (dimensions \(3 + 1 = 4\)).

Pour \(M\) : \(\dfrac{M + M^{\top}}{2} = \begin{pmatrix} 1 & 3{,}5 \\ 3{,}5 & 3 \end{pmatrix}\) et \(\dfrac{M - M^{\top}}{2} = \begin{pmatrix} 0 & -1{,}5 \\ 1{,}5 & 0 \end{pmatrix}\). Leur somme redonne bien \(M\).

19 Somme directe et bases ★★★

Génératrice. Tout élément de \(F + G\) s’écrit \(f + g\) ; en développant \(f\) sur les \(f_i\) et \(g\) sur les \(g_j\), on l’écrit comme combinaison de la famille réunie.

Libre. Supposons \(\sum a_i f_i + \sum b_j g_j = 0\). Alors \(x = \sum a_i f_i = -\sum b_j g_j\) appartient à \(F \cap G = \{0\}\), donc \(x = 0\). Les deux familles étant libres, tous les \(a_i\) et tous les \(b_j\) sont nuls.

Conclusion : c’est une base, et \(\dim(F \oplus G) = r + s = \dim F + \dim G\).

20 Intersection de deux plans ★★★

Le système \(x + y + z = 0\), \(x - y + 2z = 0\) donne, en additionnant, \(2x + 3z = 0\). On pose \(z = 2s\) : \(x = -3s\), puis \(y = -x - z = 3s - 2s = s\). Donc \(P_1 \cap P_2 = \mathrm{Vect}((-3,1,2))\).

Vérification : \(-3 + 1 + 2 = 0\) et \(-3 - 1 + 4 = 0\). Le vecteur est non nul : base de \(P_1 \cap P_2\), qui est de dimension \(1\).

Grassmann : \(\dim(P_1 + P_2) = 2 + 2 - 1 = 3\), donc \(P_1 + P_2 = \mathbb{R}^3\), mais la somme n’est pas directe.