20 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !
1 Sous-espace ou pas ? ★★★
Dans \(\mathbb{R}^2\), dis lesquelles de ces parties sont des sous-espaces vectoriels : \(A = \{(x,y) : x = 3y\}\), \(B = \{(x,y) : x + y = 2\}\), \(C = \{(x,y) : xy = 0\}\).
2 Un plan comme Vect ★★★
Écris \(F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : y = 0\}\) comme un \(\mathrm{Vect}\), puis donne une base et la dimension de \(F\).
3 Colinéaires ou non ★★★
Dans \(\mathbb{R}^2\), dis si chaque famille est libre ou liée : \(((1,2),(3,6))\) et \(((1,2),(2,1))\).
4 Coordonnées dans une base ★★★
Montre que \(((1,1),(1,-1))\) est une base de \(\mathbb{R}^2\) et donne les coordonnées de \((5,1)\) dans cette base.
5 Dimensions à connaître ★★★
Donne la dimension de : \(\mathbb{R}_4[X]\) ; \(\mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})\) ; \(\{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x = t\}\) ; \(\mathbb{C}\) comme \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel.
6 Génératrice mais pas libre ★★★
La famille \(((1,0),(1,1),(0,1))\) est-elle génératrice de \(\mathbb{R}^2\) ? Est-elle libre ?
7 Somme directe ? ★★★
Dans \(\mathbb{R}^2\), \(F = \mathrm{Vect}((1,2))\) et \(G = \mathrm{Vect}((2,4))\) sont-ils en somme directe ? Et \(F\) avec \(H = \mathrm{Vect}((0,1))\) ?
8 Une droite dans l’espace ★★★
Détermine une base et la dimension de \(E_1 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 0 \text{ et } x - y = 0\}\).
9 Polynômes qui s’annulent en 1 ★★★
Soit \(F = \{P \in \mathbb{R}_3[X] : P(1) = 0\}\). Montre que \(F\) est un sev de \(\mathbb{R}_3[X]\), donne une base et la dimension.
10 Un paramètre dans une famille ★★★
Dans \(\mathbb{R}^3\), soient \(u = (1,2,1)\), \(v = (2,1,3)\) et \(w_m = (1,-1,m)\) où \(m\) est un réel. Pour quelles valeurs de \(m\) la famille \((u, v, w_m)\) est-elle liée ?
11 Une base de l’espace ★★★
Montre que \(\mathcal{B} = ((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1))\) est une base de \(\mathbb{R}^3\), puis donne les coordonnées de \((2,4,6)\) dans \(\mathcal{B}\).
12 Vrai ou faux ? ★★★
Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant : (a) la réunion de deux sev est un sev ; (b) l’intersection de deux sev est un sev ; (c) toute famille de \(4\) vecteurs de \(\mathbb{R}^3\) est liée ; (d) si \(F \subset E\) sont de dimension finie avec \(\dim F = \dim E\), alors \(F = E\).
13 Un supplémentaire du plan x + y + z = 0 ★★★
Soit \(F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x + y + z = 0\}\) et \(G = \mathrm{Vect}((1,1,1))\). Montre que \(\mathbb{R}^3 = F \oplus G\).
14 Formule de Grassmann ★★★
Dans \(\mathbb{R}^4\), soient \(F = \mathrm{Vect}(e_1, e_2, e_3)\) et \(G = \mathrm{Vect}(e_3, e_4)\), où \((e_i)\) est la base canonique. Calcule \(\dim F\), \(\dim G\), \(\dim(F + G)\), puis \(\dim(F \cap G)\). La somme est-elle directe ?
15 Compléter en une base de R^4 ★★★
La famille \(v_1 = (2,1,0,1)\), \(v_2 = (0,1,1,0)\) est libre dans \(\mathbb{R}^4\). Complète-la en une base de \(\mathbb{R}^4\) avec des vecteurs de la base canonique, et justifie.
16 Un supplémentaire dans R^4 ★★★
Soit \(F = \{(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 : x + y + z + t = 0 \text{ et } x - y + z - t = 0\}\) et \(G = \mathrm{Vect}(e_1, e_2)\). Détermine une base de \(F\), puis montre que \(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(\mathbb{R}^4\).
17 Un changement de base polynomial ★★★
Montre que \((1, X - 1, (X - 1)^2)\) est une base de \(\mathbb{R}_2[X]\), puis donne les coordonnées de \(P = X^2 - 3X + 5\) dans cette base.
18 Symétriques et antisymétriques ★★★
Dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), soit \(\mathcal{S}\) l’ensemble des matrices symétriques et \(\mathcal{A}\) celui des matrices antisymétriques (\(M^{\top} = -M\)). Montre que \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) = \mathcal{S} \oplus \mathcal{A}\), puis décompose \(M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}\).
19 Somme directe et bases ★★★
Soient \(F\) et \(G\) deux sev de \(E\) tels que \(F \cap G = \{0\}\), \((f_1, \dots, f_r)\) une base de \(F\) et \((g_1, \dots, g_s)\) une base de \(G\). Démontre que \((f_1, \dots, f_r, g_1, \dots, g_s)\) est une base de \(F \oplus G\).
20 Intersection de deux plans ★★★
Dans \(\mathbb{R}^3\), soient \(P_1 = \{x + y + z = 0\}\) et \(P_2 = \{x - y + 2z = 0\}\). Détermine une base de \(P_1 \cap P_2\), puis calcule \(\dim(P_1 + P_2)\) avec la formule de Grassmann.
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