Une équation différentielle relie une fonction inconnue à ses dérivées. Elle décrit le refroidissement d’une tasse, la charge d’un condensateur, le mouvement d’une masse au bout d’un ressort : dès qu’une vitesse de variation dépend de l’état présent, une telle équation apparaît. En première année, on maîtrise deux familles : les équations linéaires d’ordre 1 et les équations linéaires d’ordre 2 à coefficients constants.
1. Équation linéaire d’ordre 1 sans second membre
Soit \(I\) un intervalle et \(a,b\) deux fonctions continues sur \(I\). L’équation \((E)\ :\ y'+a(x)\,y=b(x)\) d’inconnue \(y\) dérivable sur \(I\) est une équation différentielle linéaire d’ordre 1. L’équation homogène associée est \((H)\ :\ y'+a(x)\,y=0\).
Si \(A\) est une primitive de \(a\) sur \(I\), les solutions de \((H)\) sont les fonctions \(y(x)=C\,e^{-A(x)}\) avec \(C\in\mathbb{R}\).
Preuve : \((y\,e^{A})'=(y'+ay)\,e^{A}\). Donc \(y\) est solution de \((H)\) si et seulement si \(y\,e^{A}\) a une dérivée nulle sur l’intervalle \(I\), c’est-à-dire est constante.
Pour \(y'+2x\,y=0\) sur \(\mathbb{R}\), \(A(x)=x^2\) et les solutions sont \(y(x)=C\,e^{-x^2}\). Pour \(y'-3y=0\), \(a=-3\), \(A(x)=-3x\) et \(y(x)=C\,e^{3x}\).
2. Second membre et variation de la constante
Si \(y_p\) est une solution particulière de \((E)\), les solutions de \((E)\) sont exactement les fonctions \(y_p+y_h\) où \(y_h\) décrit les solutions de \((H)\). Les courbes forment une « famille » dépendant d’une constante.
- Mettre l’équation sous la forme \(y'+a(x)y=b(x)\) (coefficient de \(y'\) égal à 1) sur un intervalle où \(a\) et \(b\) sont continues.
- Résoudre \((H)\) : \(y_h=C\,e^{-A(x)}\).
- Chercher \(y(x)=C(x)\,e^{-A(x)}\), où \(C\) est maintenant une fonction. On obtient \(C'(x)\,e^{-A(x)}=b(x)\), donc \(C'(x)=b(x)\,e^{A(x)}\).
- Primitiver \(C'\) (avec une constante \(K\)) et conclure.
Résolvons \(y'+2y=4\). L’équation homogène donne \(y_h=C\,e^{-2x}\). On pose \(y=C(x)e^{-2x}\) : \(C'(x)e^{-2x}=4\), donc \(C'(x)=4e^{2x}\) et \(C(x)=2e^{2x}+K\). Ainsi \(y(x)=2+K\,e^{-2x}\), \(K\in\mathbb{R}\). La constante \(2\) est une solution particulière évidente, que l’on aurait pu deviner.
Résolvons \(x\,y'+y=x^2\) sur \(]0,+\infty[\). On divise par \(x\) : \(y'+\dfrac{1}{x}y=x\). Une primitive de \(\dfrac1x\) est \(\ln x\), donc \(y_h=\dfrac{C}{x}\). On pose \(y=\dfrac{C(x)}{x}\) : \(\dfrac{C'(x)}{x}=x\), donc \(C'(x)=x^2\) et \(C(x)=\dfrac{x^3}{3}+K\). Les solutions sont \(y(x)=\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{K}{x}\).
Oublier de diviser par le coefficient de \(y'\) avant d’appliquer la formule, ou résoudre sur un intervalle où ce coefficient s’annule : sur \(\mathbb{R}\) tout entier, l’équation de l’exemple 3 se traite autrement. Précisez toujours l’intervalle de résolution.
3. Problème de Cauchy d’ordre 1
Pour tout \(x_0\in I\) et tout réel \(y_0\), l’équation \((E)\) admet une unique solution sur \(I\) vérifiant la condition initiale \(y(x_0)=y_0\).
En effet, la solution générale s’écrit \(y_p(x)+C\,e^{-A(x)}\) et la condition \(y(x_0)=y_0\) fournit \(C=(y_0-y_p(x_0))\,e^{A(x_0)}\) : une seule valeur de \(C\). Géométriquement, par chaque point du plan d’abscisse dans \(I\) passe une et une seule courbe intégrale.
Pour \(y'+2y=4\) avec \(y(0)=5\) : \(2+K=5\), donc \(K=3\) et \(y(x)=2+3e^{-2x}\). C’est la courbe violette de la figure ci-dessus.
4. Ordre 2 à coefficients constants sans second membre
Soit \(a,b\in\mathbb{R}\) et \(f\) continue. L’équation \((E_2)\ :\ y''+a\,y'+b\,y=f(x)\) est linéaire d’ordre 2 à coefficients constants. Son équation caractéristique est \(r^2+ar+b=0\), de discriminant \(\Delta=a^2-4b\).
L’ensemble des solutions réelles de \(y''+ay'+by=0\) est un plan vectoriel (deux constantes libres), décrit par le tableau suivant.
| Signe de \(\Delta=a^2-4b\) | Racines de \(r^2+ar+b=0\) | Solutions réelles de l’équation homogène |
|---|---|---|
| \(\Delta>0\) | \(r_1\neq r_2\) réelles | \(\lambda e^{r_1x}+\mu e^{r_2x}\) |
| \(\Delta=0\) | \(r_0\) racine double | \((\lambda+\mu x)e^{r_0x}\) |
| \(\Delta<0\) | \(\alpha\pm i\beta\) complexes conjuguées | \(e^{\alpha x}(\lambda\cos\beta x+\mu\sin\beta x)\) |
\(y''-3y'+2y=0\) : \(r^2-3r+2=(r-1)(r-2)\), donc \(y=\lambda e^{x}+\mu e^{2x}\). Pour \(y''+4y'+4y=0\) : racine double \(-2\), donc \(y=(\lambda+\mu x)e^{-2x}\). Pour \(y''+y'+\dfrac{37}{4}y=0\) : \(\Delta=-36\), racines \(-\dfrac12\pm3i\), donc \(y=e^{-x/2}(\lambda\cos3x+\mu\sin3x)\), solution amortie représentée ci-dessous pour \(\lambda=1,\mu=0\).
5. Second membre
La structure est la même qu’en ordre 1 : solution générale = solution particulière + solution générale de l’équation homogène. De plus, si \(y_1\) résout l’équation de second membre \(f_1\) et \(y_2\) celle de second membre \(f_2\), alors \(y_1+y_2\) résout celle de second membre \(f_1+f_2\) (principe de superposition).
Si \(f(x)=P(x)e^{mx}\) avec \(P\) polynôme, on cherche \(y_p\) de la forme suivante, puis on identifie les coefficients :
| Second membre \(f(x)\) | Forme cherchée pour \(y_p\) |
|---|---|
| \(P(x)e^{mx}\), \(m\) non racine caractéristique | \(Q(x)e^{mx}\), \(\deg Q=\deg P\) |
| \(P(x)e^{mx}\), \(m\) racine simple | \(xQ(x)e^{mx}\), \(\deg Q=\deg P\) |
| \(P(x)e^{mx}\), \(m\) racine double | \(x^2Q(x)e^{mx}\), \(\deg Q=\deg P\) |
\(y''+2y'+5y=10x+4\) : \(m=0\) n’est pas racine de \(r^2+2r+5\). On cherche \(y_p=\alpha x+\beta\) : \(2\alpha+5\alpha x+5\beta=10x+4\), d’où \(\alpha=2\) et \(\beta=0\), \(y_p=2x\). De même, pour \(y''-3y'+2y=e^{x}\), \(m=1\) est racine simple : on pose \(y_p=c\,x\,e^{x}\), ce qui donne \(-c\,e^{x}=e^{x}\), donc \(y_p=-x\,e^{x}\).
Sur ma planète, on ne rend jamais une solution sans l’avoir remise dans l’équation : une minute de vérification évite une erreur de signe sur toute la copie !
6. Problème de Cauchy d’ordre 2
Pour tout \(x_0\) et tous réels \(y_0,y_1\), l’équation \((E_2)\) admet une unique solution vérifiant \(y(x_0)=y_0\) et \(y'(x_0)=y_1\).
\(y''+4y'+4y=0\), \(y(0)=1\), \(y'(0)=0\). Avec \(y=(\lambda+\mu x)e^{-2x}\) : \(y(0)=\lambda=1\) et \(y'(x)=(\mu-2\lambda-2\mu x)e^{-2x}\), donc \(y'(0)=\mu-2=0\). Ainsi \(y(x)=(1+2x)e^{-2x}\).
7. Solutions complexes
Comme \(a\) et \(b\) sont réels, on peut chercher des solutions à valeurs complexes. La fonction \(x\mapsto e^{rx}\), avec \(r\in\mathbb{C}\), est solution de l’équation homogène si et seulement si \(r\) est racine de l’équation caractéristique. Pour \(r=\alpha\pm i\beta\), les parties réelle et imaginaire de \(e^{(\alpha+i\beta)x}\) donnent \(e^{\alpha x}\cos\beta x\) et \(e^{\alpha x}\sin\beta x\) : c’est l’origine du troisième cas du tableau.
Pour \(f(x)=\cos\omega x\) (respectivement \(\sin\omega x\)), on résout \(y''+ay'+by=e^{i\omega x}\) et on prend la partie réelle (respectivement imaginaire) d’une solution. Si \(i\omega\) n’est pas racine, \(y_c(x)=\dfrac{e^{i\omega x}}{P(i\omega)}\) avec \(P(r)=r^2+ar+b\).
\(y''+2y'+5y=\cos2x\) : \(P(2i)=-4+4i+5=1+4i\), donc \(y_c=\dfrac{(1-4i)e^{2ix}}{17}\) et, en prenant la partie réelle, \(y_p(x)=\dfrac{\cos2x+4\sin2x}{17}\).
Pour \(y''+9y=\cos3x\), \(3i\) est racine de \(r^2+9\) : on cherche \(y_p=c\,x\,e^{3ix}\), ce qui conduit à \(y_p(x)=\dfrac{x\sin3x}{6}\). L’amplitude croît linéairement avec \(x\), comme le montre la figure.
Chercher \(y_p=c\,e^{mx}\) alors que \(m\) est racine caractéristique : l’identification donne \(0=1\). Quand ce cas se produit, multipliez par \(x\) (ou \(x^2\) pour une racine double).
À retenir
- Ordre 1 : \(y'+ay=0\) a pour solutions \(C\,e^{-A(x)}\) ; avec second membre, on ajoute une solution particulière, trouvée par variation de la constante.
- Problème de Cauchy : une condition initiale (ordre 1) ou deux (ordre 2) donnent une unique solution.
- Ordre 2 : on résout l’équation caractéristique ; trois cas selon le signe de \(\Delta\).
- Second membre \(P(x)e^{mx}\) : forme de \(y_p\) selon que \(m\) est racine caractéristique ou non ; superposition pour les sommes.
- Complexes : \(\cos\omega x=\operatorname{Re}\,e^{i\omega x}\), et les racines \(\alpha\pm i\beta\) donnent les solutions \(e^{\alpha x}\cos\beta x\) et \(e^{\alpha x}\sin\beta x\).
- Toujours vérifier la solution trouvée dans l’équation de départ et la condition initiale.
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