1 PGCD et Bézout / 4 pts
Calculatrice autorisée. Soit \(a = 1155\) et \(b = 455\). 1) Calcule \(a \wedge b\) par l’algorithme d’Euclide. 2) En déduis le PPCM. 3) Trouve \(u, v\) tels que \(au + bv = a \wedge b\).
2 Congruences / 4 pts
1) Résous \(9x \equiv 6 \pmod{11}\). 2) Détermine le reste de \(3^{2026}\) dans la division par 11.
3 Un groupe cyclique / 4 pts
On considère le groupe \(G = (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^{\times}\). 1) Donne ses éléments. 2) Montre que 2 engendre \(G\). 3) Donne tous les sous-groupes de \(G\).
4 Un morphisme / 4 pts
Soit \(f : \mathbb{Z}/20\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/10\mathbb{Z}\) qui à la classe de \(x\) associe la classe de \(x\) modulo 10. 1) Montre que \(f\) est bien définie et un morphisme. 2) Détermine son noyau. 3) \(f\) est-il injectif ? surjectif ?
5 Anneaux et corps / 4 pts
1) Quels sont les éléments inversibles de \(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\) ? 2) Cet anneau est-il un corps ? Justifie par un diviseur de zéro. 3) Montre que \(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\) est un corps et donne l’inverse de 3.
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