Ce chapitre réunit deux univers : les entiers, avec leurs diviseurs et leurs congruences, et les structures algébriques (groupes, anneaux, corps) qui en dégagent les règles de calcul. On y voit comment un calcul sur les restes devient un exemple de groupe, puis comment les morphismes comparent deux structures.
1. Divisibilité et PGCD
Pour \(a, b \in \mathbb{Z}\), on dit que \(a\) divise \(b\), noté \(a \mid b\), s’il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(b = ka\). Le PGCD de deux entiers non tous nuls est le plus grand entier positif qui les divise tous les deux, noté \(a \wedge b\).
Pour \(b > 0\), il existe un unique couple \((q, r)\) avec \(a = bq + r\) et \(0 \le r < b\). De plus \(a \wedge b = b \wedge r\). En itérant, le dernier reste non nul est le PGCD.
\(1260 = 2 \times 468 + 324\), puis \(468 = 1 \times 324 + 144\), puis \(324 = 2 \times 144 + 36\), enfin \(144 = 4 \times 36 + 0\). Donc \(1260 \wedge 468 = 36\).
2. Théorème de Bézout
Il existe \(u, v \in \mathbb{Z}\) tels que \(au + bv = a \wedge b\). En particulier \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux si et seulement si \(au + bv = 1\) pour certains entiers \(u, v\). Lemme de Gauss : si \(a \mid bc\) et \(a \wedge b = 1\), alors \(a \mid c\).
- Écrire toutes les divisions euclidiennes jusqu’au reste 1 (ou le PGCD).
- Isoler chaque reste : \(r = a - bq\).
- Remplacer, en remontant, chaque reste par l’expression précédente.
\(47 = 2 \times 18 + 11\), \(18 = 11 + 7\), \(11 = 7 + 4\), \(7 = 4 + 3\), \(4 = 3 + 1\). En remontant : \(1 = 4 - 3 = 2 \times 4 - 7 = 2 \times 11 - 3 \times 7 = 5 \times 11 - 3 \times 18 = 5 \times 47 - 13 \times 18\). Vérification : \(235 - 234 = 1\).
Les solutions entières de \(5x + 7y = 3\) sont les points à coordonnées entières de la droite tracée ci-dessus ; elles sont régulièrement espacées.
3. Nombres premiers
Un entier \(p \ge 2\) est premier si ses seuls diviseurs positifs sont \(1\) et \(p\). Tout entier \(n \ge 2\) s’écrit de façon unique, à l’ordre près, comme produit de nombres premiers.
Il y a une infinité de nombres premiers. Démonstration : si \(p_1, \dots, p_n\) étaient tous les premiers, l’entier \(N = p_1 \cdots p_n + 1\) aurait un diviseur premier \(p_i\), qui diviserait aussi \(N - p_1 \cdots p_n = 1\), absurde.
\(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\). Le nombre de diviseurs positifs vaut \((3+1)(2+1)(1+1) = 24\).
4. Congruences
On écrit \(a \equiv b \pmod n\) si \(n \mid a - b\). C’est une relation d’équivalence, compatible avec la somme et le produit : on peut additionner et multiplier des congruences.
La classe de \(a\) est inversible modulo \(n\) si et seulement si \(a \wedge n = 1\) (c’est Bézout). Si \(p\) est premier et \(p \nmid a\), alors \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\).
Comme \(5 \times 7 = 35 = 2 \times 17 + 1\), l’inverse de 5 est 7. Donc \(x \equiv 7 \times 3 = 21 \equiv 4 \pmod{17}\). Contrôle : \(5 \times 4 = 20 \equiv 3\).
On ne simplifie pas une congruence n’importe comment : \(6 \equiv 2 \pmod 4\) mais \(3 \not\equiv 1 \pmod 4\). Simplifier par \(c\) exige \(c \wedge n = 1\).
5. Groupes
Un groupe \((G, \ast)\) est un ensemble muni d’une loi interne associative, ayant un élément neutre \(e\), et dans lequel tout élément \(x\) a un inverse \(x^{-1}\). Il est abélien si la loi est commutative. Le nombre d’éléments est l’ordre de \(G\).
Exemples : \((\mathbb{Z}, +)\), \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)\), \((\mathbb{R}_+^{*}, \times)\), le groupe \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}\) des classes inversibles pour le produit. Voici la table du groupe \((\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times} = \{1, 3, 5, 7\}\) :
| \(\times\) | \(1\) | \(3\) | \(5\) | \(7\) |
|---|---|---|---|---|
| \(1\) | 1 | 3 | 5 | 7 |
| \(3\) | 3 | 1 | 7 | 5 |
| \(5\) | 5 | 7 | 1 | 3 |
| \(7\) | 7 | 5 | 3 | 1 |
Chaque ligne et chaque colonne contiennent tous les éléments exactement une fois : c’est une propriété de toute table de groupe fini.
6. Sous-groupes
Une partie \(H\) de \(G\) est un sous-groupe si et seulement si \(e \in H\) et, pour tous \(x, y \in H\), \(x y^{-1} \in H\). Les sous-groupes de \((\mathbb{Z}, +)\) sont exactement les \(n\mathbb{Z}\). Théorème de Lagrange : dans un groupe fini, l’ordre d’un sous-groupe divise l’ordre du groupe.
Dans \((\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}, +)\), le sous-groupe engendré par 3 est \(\{0, 3, 6, 9\}\), d’ordre 4 ; et \(4 \mid 12\), conformément à Lagrange.
7. Morphismes
Une application \(f : G \to H\) est un morphisme si \(f(xy) = f(x) f(y)\) pour tous \(x, y\). Son noyau est \(\ker f = \{x \in G : f(x) = e_H\}\) et son image est \(\operatorname{Im} f = f(G)\) ; ce sont des sous-groupes. Alors \(f\) est injectif si et seulement si \(\ker f = \{e_G\}\).
L’application \(f(x) = 4x\) est un morphisme additif de \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) dans lui-même. Son noyau est \(\{0, 3, 6, 9\}\) (car \(4x \equiv 0 \pmod{12}\) équivaut à \(3 \mid x\)) et son image est \(\{0, 4, 8\}\). On vérifie \(4 \times 3 = 12\) : l’ordre du noyau multiplié par celui de l’image vaut l’ordre du groupe.
8. Anneaux et corps
Un anneau \((A, +, \times)\) est un groupe abélien pour \(+\), muni d’un produit associatif, distributif sur \(+\), avec un élément neutre \(1\). Un corps est un anneau commutatif où \(1 \ne 0\) et où tout élément non nul est inversible.
L’anneau \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un corps si et seulement si \(n\) est premier. Dans le cas contraire, il possède des diviseurs de zéro : par exemple dans \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\), \(3 \times 4 = 12 \equiv 0\) alors que \(3 \ne 0\) et \(4 \ne 0\).
Pour savoir si une classe est inversible modulo \(n\), calcule d’abord son PGCD avec \(n\) : si c’est 1, l’algorithme d’Euclide remonté te donne directement l’inverse.
À retenir
- \(a \wedge b\) s’obtient par l’algorithme d’Euclide ; Bézout donne \(au + bv = a \wedge b\).
- Gauss : \(a \mid bc\) et \(a \wedge b = 1\) entraînent \(a \mid c\).
- Tout entier \(\ge 2\) se décompose de façon unique en nombres premiers.
- \(a\) est inversible modulo \(n\) si et seulement si \(a \wedge n = 1\) ; Fermat : \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\).
- Sous-groupe : \(e \in H\) et \(xy^{-1} \in H\) ; Lagrange : l’ordre de \(H\) divise celui de \(G\).
- Un morphisme est injectif si et seulement si son noyau est trivial.
- \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un corps si et seulement si \(n\) est premier.
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