Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.
1 Étude d’une application / 4 pts
- \(g(1) = 0 = g(5)\) avec \(1 \neq 5\) : \(g\) n’est pas injective (1 pt).
- \(g(x) = (x - 3)^2 - 4 \ge -4\), donc \(-5\) n’a pas d’antécédent : \(g\) n’est pas surjective (1 pt).
- Pour \(y \ge -4\), \((x - 3)^2 = y + 4\) avec \(x \ge 3\) donne l’unique solution \(x = 3 + \sqrt{y + 4}\) (1 pt) ; donc la restriction est bijective et \(g^{-1}(y) = 3 + \sqrt{y + 4}\) (1 pt).
2 Diagramme / 3 pts
- Les images \(q, s, p\) sont deux à deux distinctes : \(h\) est injective (1 pt).
- \(r\) n’a pas d’antécédent : \(h\) n’est pas surjective (1 pt).
- \(A_4^3 = 4 \times 3 \times 2 = 24\) injections (1 pt).
3 Images directe et réciproque / 3 pts
- Pour \(x \in [-2\,;\,3]\), \(x - 1 \in [-3\,;\,2]\), et \(0\) est atteint en \(x = 1\) tandis que le maximum de la valeur absolue est \(3\) en \(x = -2\). Donc \(f([-2\,;\,3]) = [0\,;\,3]\) (1 pt).
- \(1 \le |x - 1| \le 2\) équivaut à \(x - 1 \in [-2\,;\,-1] \cup [1\,;\,2]\) (1 pt), soit \(f^{-1}([1\,;\,2]) = [-1\,;\,0] \cup [2\,;\,3]\) (1 pt).
4 Composition / 4 pts
- \((g \circ f)(x) = (2x - 3)^2 + 1 = 4x^2 - 12x + 10\) (1 pt) et \((f \circ g)(x) = 2(x^2 + 1) - 3 = 2x^2 - 1\) (1 pt).
- \(y = 2x - 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{y + 3}{2}\), existant et unique : \(f\) est bijective et \(f^{-1}(y) = \dfrac{y + 3}{2}\) (1 pt).
- \((g \circ f)(1) = 4 - 12 + 10 = 2\) et \((g \circ f)(2) = 16 - 24 + 10 = 2\) : deux éléments distincts ont la même image, donc \(g \circ f\) n’est pas injective (1 pt).
5 Dénombrement / 3 pts
- \(\dbinom{30}{5} = 142\,506\) (1 pt).
- L’ordre compte : \(A_{30}^3 = 30 \times 29 \times 28 = 24\,360\) (1 pt).
- Léa est fixée, on choisit les \(4\) autres parmi \(29\) : \(\dbinom{29}{4} = 23\,751\) (1 pt).
6 Binôme et tiroirs / 3 pts
- \((x + 3)^4 = x^4 + 4 \cdot 3\, x^3 + 6 \cdot 9\, x^2 + 4 \cdot 27\, x + 81 = x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81\) (2 pts).
- Il n’y a que \(6\) restes possibles (\(0\) à \(5\)), qui jouent le rôle de tiroirs. Comme \(7 > 6\), le principe des tiroirs donne deux entiers de même reste (1 pt).
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