Partager une pizza, une tablette de chocolat ou une piste de course en parts égales : c’est de là que viennent les fractions. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à les écrire, à les placer sur une droite graduée, à les comparer, à les additionner et à calculer la fraction d’une quantité.
1. Partager une unité
Quand on partage une unité en \(b\) parts égales et qu’on en prend \(a\), on obtient la fraction \(\dfrac{a}{b}\).
Le nombre du bas, \(b\), est le dénominateur : il indique en combien de parts égales l’unité est coupée. Le nombre du haut, \(a\), est le numérateur : il indique combien de parts on prend.
La bande ci-dessous est partagée en 8 parts égales. Cinq parts sont colorées : la partie colorée représente \(\dfrac{5}{8}\) de la bande (on lit « cinq huitièmes »).
Quelques noms à connaître : \(\dfrac{1}{2}\) est un demi, \(\dfrac{1}{3}\) un tiers, \(\dfrac{1}{4}\) un quart, \(\dfrac{1}{5}\) un cinquième, \(\dfrac{1}{10}\) un dixième, \(\dfrac{1}{100}\) un centième.
Les parts doivent être de la même taille. Un rectangle coupé en trois morceaux inégaux n’est pas partagé en tiers.
Une tablette a 12 carrés. Tu en manges 5. Tu as mangé \(\dfrac{5}{12}\) de la tablette ; il en reste \(\dfrac{7}{12}\), car \(12 - 5 = 7\).
2. Fraction d’une quantité
Une fraction permet aussi de prendre une partie d’un groupe d’objets. Pour trouver \(\dfrac{3}{4}\) de 12 jetons, on partage les 12 jetons en 4 groupes égaux, puis on garde 3 groupes.
- Je divise la quantité par le dénominateur : j’obtiens la valeur d’une part.
- Je multiplie ce résultat par le numérateur.
Calculer \(\dfrac{3}{5}\) de 40 billes. On divise : \(40 \div 5 = 8\). On multiplie : \(8 \times 3 = 24\). Donc \(\dfrac{3}{5}\) de 40 billes, c’est 24 billes.
Un film dure 90 minutes. Les \(\dfrac{2}{3}\) du film sont passés. \(90 \div 3 = 30\), puis \(30 \times 2 = 60\). Il s’est écoulé 60 minutes.
3. Les fractions sur une droite graduée
Sur une droite graduée, l’unité est le segment entre deux entiers consécutifs. Si on partage cette unité en \(b\) parts égales, chaque graduation correspond à \(\dfrac{1}{b}\) de l’unité.
Ici, chaque unité est coupée en quatre : les graduations sont des quarts. On part de 0 et on compte : \(\dfrac{1}{4}\), \(\dfrac{2}{4}\), \(\dfrac{3}{4}\), \(\dfrac{4}{4}=1\), \(\dfrac{5}{4}\), \(\dfrac{6}{4}\), \(\dfrac{7}{4}\). Le point P est donc à l’abscisse \(\dfrac{7}{4}\).
\(\dfrac{b}{b} = 1\). Quand le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est supérieure à 1 : par exemple \(\dfrac{7}{4} = 1 + \dfrac{3}{4}\).
4. Les fractions égales
Une même quantité peut s’écrire avec des fractions différentes. Regarde ces trois bandes de même longueur : la partie colorée est la même.
On ne change pas une fraction quand on multiplie (ou qu’on divise) son numérateur et son dénominateur par le même nombre non nul :
\[ \dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12} \qquad \dfrac{15}{20} = \dfrac{15 \div 5}{20 \div 5} = \dfrac{3}{4} \]
Compléter \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{\ldots}{18}\). On passe de 6 à 18 en multipliant par 3. On fait de même en haut : \(5 \times 3 = 15\). Donc \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{18}\).
5. Comparer des fractions de même dénominateur
Quand les parts ont la même taille, la plus grande fraction est celle qui contient le plus de parts.
Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. Par exemple \(\dfrac{4}{9} < \dfrac{7}{9}\).
Ranger dans l’ordre croissant \(\dfrac{5}{12}\), \(\dfrac{11}{12}\), \(\dfrac{2}{12}\) et \(\dfrac{8}{12}\). Les dénominateurs sont identiques, on compare les numérateurs : 2 < 5 < 8 < 11. Donc \(\dfrac{2}{12} < \dfrac{5}{12} < \dfrac{8}{12} < \dfrac{11}{12}\).
Si les dénominateurs sont différents mais que l’un est un multiple de l’autre, on écrit d’abord des fractions égales de même dénominateur. Pour comparer \(\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{5}{8}\), on écrit \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8}\) ; comme \(5 < 6\), on a \(\dfrac{5}{8} < \dfrac{3}{4}\).
Sur ma planète, on compare toujours des parts de même taille avant de compter combien il y en a !
6. Les fractions décimales
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1 000, etc. Par exemple \(\dfrac{7}{10}\), \(\dfrac{35}{100}\) ou \(\dfrac{4}{1000}\).
Ces fractions s’écrivent facilement avec une virgule. Dans la grille ci-dessous, 35 carreaux sur 100 sont colorés : c’est \(\dfrac{35}{100}\) du carré, soit \(0{,}35\).
| Fraction décimale | Nombre décimal | Se lit |
|---|---|---|
| \(\dfrac{1}{10}\) | \(0{,}1\) | un dixième |
| \(\dfrac{7}{10}\) | \(0{,}7\) | sept dixièmes |
| \(\dfrac{1}{100}\) | \(0{,}01\) | un centième |
| \(\dfrac{35}{100}\) | \(0{,}35\) | trente-cinq centièmes |
| \(\dfrac{4}{1000}\) | \(0{,}004\) | quatre millièmes |
\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{10} = 0{,}5\) et \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100} = 0{,}75\) : on a multiplié en haut et en bas pour obtenir un dénominateur 10 ou 100.
7. Additionner des fractions de même dénominateur
Trois quarts de pizza plus deux quarts de pizza font cinq quarts de pizza. On additionne les parts, mais la taille des parts ne change pas.
\[ \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b} \]
On additionne les numérateurs et on garde le dénominateur.
\(\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{8}\). Et si on dépasse l’unité : \(\dfrac{5}{6} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{6}{6} + \dfrac{3}{6} = 1 + \dfrac{3}{6}\).
On n’additionne jamais les dénominateurs : \(\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5}\) ne vaut pas \(\dfrac{3}{10}\) mais \(\dfrac{3}{5}\).
8. Encadrer une fraction par deux entiers
Encadrer une fraction, c’est trouver les deux nombres entiers consécutifs entre lesquels elle se trouve.
- Je cherche, dans la table de \(b\), les deux multiples consécutifs qui entourent \(a\).
- Je divise ces multiples par \(b\) : j’obtiens les deux entiers cherchés.
Encadrer \(\dfrac{17}{5}\). Dans la table de 5 : \(15 = 3 \times 5\) et \(20 = 4 \times 5\), avec \(15 < 17 < 20\). Donc \(3 < \dfrac{17}{5} < 4\).
Encadrer \(\dfrac{46}{10}\). \(40 < 46 < 50\), donc \(4 < \dfrac{46}{10} < 5\). On retrouve \(4{,}6\), qui est bien entre 4 et 5.
À retenir
- Dans \(\dfrac{a}{b}\), le dénominateur \(b\) dit en combien de parts égales on partage ; le numérateur \(a\) dit combien on en prend.
- Pour prendre une fraction d’une quantité : je divise par le dénominateur, puis je multiplie par le numérateur.
- Sur une droite graduée, on compte les graduations à partir de 0 ; \(\dfrac{b}{b} = 1\).
- On obtient une fraction égale en multipliant ou en divisant le haut et le bas par le même nombre.
- À même dénominateur, la plus grande fraction a le plus grand numérateur.
- Une fraction décimale a pour dénominateur 10, 100, 1 000… ; \(\dfrac{35}{100} = 0{,}35\).
- \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b}\) : on garde le dénominateur.
- Pour encadrer une fraction, j’encadre le numérateur par deux multiples consécutifs du dénominateur.
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