Partager une tablette de chocolat, couper une tarte, découper un ruban : dès qu’on partage en parts égales, les fractions entrent en jeu. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à les écrire et à les lire, à les placer sur une droite graduée, à les comparer à 1, à découvrir les fractions décimales, à additionner des fractions et à calculer la fraction d’une quantité.
1. Partager une unité en parts égales
Quand on partage une unité (un objet, une longueur, une surface) en parts égales, chaque part est une fraction de cette unité. Plusieurs parts forment aussi une fraction de l’unité.
Le nom d’une part dépend du nombre de parts égales de l’unité :
| Nombre de parts égales | Nom d’une part | Écriture |
|---|---|---|
| 2 | un demi | \(\dfrac{1}{2}\) |
| 3 | un tiers | \(\dfrac{1}{3}\) |
| 4 | un quart | \(\dfrac{1}{4}\) |
| 5 | un cinquième | \(\dfrac{1}{5}\) |
| 10 | un dixième | \(\dfrac{1}{10}\) |
| 100 | un centième | \(\dfrac{1}{100}\) |
Dans la bande ci-dessous, l’unité est partagée en 4 parts égales et 3 parts sont colorées : on a colorié trois quarts de la bande.
Les parts doivent être toutes égales. Une bande coupée en 4 morceaux de tailles différentes n’est pas partagée en quarts.
2. Numérateur et dénominateur
Une fraction s’écrit avec deux nombres entiers séparés par un trait : \(\dfrac{a}{b}\).
Dans la fraction \(\dfrac{a}{b}\) :
- le dénominateur \(b\) (en bas) indique en combien de parts égales l’unité est partagée ;
- le numérateur \(a\) (en haut) indique combien de parts on prend.
Un gâteau est coupé en 8 parts égales et Mia en mange 3. Elle a mangé \(\dfrac{3}{8}\) du gâteau : le dénominateur est 8 (parts égales), le numérateur est 3 (parts mangées).
Il reste \(8 - 3 = 5\) parts, soit \(\dfrac{5}{8}\) du gâteau.
Sur ma planète, on dit que le dénominateur « donne le nom » des parts (huitièmes, quarts…) et que le numérateur les « compte ». Trois huitièmes, c’est donc trois parts d’un huitième !
3. Les fractions sur une droite graduée
On peut placer une fraction sur une droite : l’unité est le segment entre 0 et 1.
- Repère l’unité entre 0 et 1, puis lis le dénominateur : il donne le nombre de parts égales dans chaque unité.
- Partage chaque unité en ce nombre de parts.
- Pars de 0 et avance d’autant de parts que le numérateur.
Sur la droite ci-dessus, chaque unité est partagée en 4. Pour placer \(\dfrac{5}{4}\), on avance de 5 quarts à partir de 0 : on passe le point 1 (qui est \(\dfrac{4}{4}\)) puis on avance encore d’un quart.
4. Comparer une fraction à 1
- Si le numérateur est égal au dénominateur, la fraction vaut 1 : \(\dfrac{6}{6} = 1\).
- S’il est plus petit, la fraction est inférieure à 1 : \(\dfrac{5}{6} < 1\).
- S’il est plus grand, la fraction est supérieure à 1 : \(\dfrac{7}{6} > 1\).
Compare \(\dfrac{7}{4}\) à 1. Le numérateur 7 est plus grand que le dénominateur 4, donc \(\dfrac{7}{4} > 1\). On peut même écrire \(\dfrac{7}{4} = \dfrac{4}{4} + \dfrac{3}{4} = 1 + \dfrac{3}{4}\) : cette fraction est située entre 1 et 2.
Un grand dénominateur ne veut pas dire une grande fraction ! Comme \(\dfrac{1}{8}\) est une part d’un gâteau coupé en 8, elle est plus petite que \(\dfrac{1}{4}\), part d’un gâteau coupé en 4.
5. Les fractions décimales
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1 000… Par exemple \(\dfrac{3}{10}\), \(\dfrac{17}{100}\) ou \(\dfrac{9}{1000}\).
Elles s’écrivent facilement avec une virgule :
| Fraction décimale | Nombre décimal |
|---|---|
| \(\dfrac{3}{10}\) | \(0{,}3\) |
| \(\dfrac{17}{100}\) | \(0{,}17\) |
| \(\dfrac{125}{1000}\) | \(0{,}125\) |
| \(\dfrac{13}{10}\) | \(1{,}3\) |
Sur cette droite, 7 dixièmes se trouvent au 7e petit trait après 0 : \(\dfrac{7}{10} = 0{,}7\). Les dixièmes sont le premier chiffre après la virgule, les centièmes le deuxième et les millièmes le troisième.
6. Additionner des fractions de même dénominateur
Quand deux fractions ont le même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur :
\[ \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c} \]
\(\dfrac{3}{9} + \dfrac{4}{9} = \dfrac{3 + 4}{9} = \dfrac{7}{9}\) : trois neuvièmes plus quatre neuvièmes font sept neuvièmes.
\(\dfrac{5}{6} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{9}{6}\), et comme \(9 > 6\), cette somme est supérieure à 1 : \(\dfrac{9}{6} = 1 + \dfrac{3}{6}\).
On n’additionne jamais les dénominateurs ! \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{5}\) et non \(\dfrac{4}{10}\) : deux cinquièmes plus deux cinquièmes font quatre cinquièmes, la taille des parts ne change pas.
7. Prendre une fraction d’une quantité
- Partage la quantité en autant de groupes égaux que le dénominateur (une division).
- Multiplie la valeur d’un groupe par le numérateur.
Quels sont les \(\dfrac{2}{3}\) de 12 jetons ? On partage 12 jetons en 3 groupes égaux : \(12 \div 3 = 4\) jetons par groupe. On en prend 2 groupes : \(2 \times 4 = 8\). Les deux tiers de 12 jetons sont 8 jetons.
Une console coûte 40 €. Tu as déjà économisé les \(\dfrac{3}{5}\) de ce prix. Un cinquième de 40 € est \(40 \div 5 = 8\) €, donc \(3 \times 8 = 24\) € sont déjà économisés.
À retenir
- Une fraction \(\dfrac{a}{b}\) se lit avec le dénominateur \(b\) (parts égales dans l’unité) et le numérateur \(a\) (parts prises).
- Pour placer \(\dfrac{a}{b}\) sur une droite graduée : partager l’unité en \(b\) puis avancer de \(a\) parts depuis 0.
- Numérateur égal au dénominateur : la fraction vaut 1 ; numérateur plus petit : moins de 1 ; plus grand : plus de 1.
- Une fraction décimale a pour dénominateur 10, 100, 1 000… et s’écrit avec une virgule.
- Même dénominateur : on additionne les numérateurs, le dénominateur ne change pas.
- Fraction d’une quantité : on divise par le dénominateur, puis on multiplie par le numérateur.
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