Algorithmique et probabilités : exercices corrigés de maths 6ème à télécharger en PDF

1 Suivre un robot ★★★

Départ en \((0\,;\,0)\), direction : la droite.

• Avancer de 2 : \((2\,;\,0)\).
• Tourner à gauche : il regarde vers le haut.
• Avancer de 3 : \((2\,;\,3)\).
• Tourner à droite : il regarde de nouveau vers la droite.
• Avancer de 1 : \((3\,;\,3)\).

Le robot termine au point \((3\,;\,3)\).

2 Tracer un carré ★★★

Un carré a 4 côtés et 4 angles droits : répéter 4 fois [avancer de 40 pas ; tourner de 90 degrés].

Distance totale : \(4 \times 40 = 160\) pas.

3 Un score qui monte ★★★

Chaque répétition ajoute 5, et il y a 6 répétitions : \(6 \times 5 = 30\).

Le score final est 30.

4 Hasard ou pas ? ★★★

1. Aléatoire : on ne peut pas prévoir la face obtenue.
2. Non aléatoire : le résultat est toujours 15.
3. Non aléatoire : c’est toujours mardi.
4. Aléatoire : on ne sait pas quel prénom sortira.
5. Aléatoire : pile ou face, impossible à prévoir.

5 Certain, possible ou impossible ★★★

1. Il y a des jetons verts, mais aussi des jaunes : l’événement est possible.
2. Il n’y a aucun jeton rouge : l’événement est impossible.
3. Tous les jetons sont verts ou jaunes : l’événement est certain.

6 Probabilité possible ? ★★★

Une probabilité est comprise entre 0 et 1.

• \(0{,}8\), \(\dfrac{3}{10}\), \(1\) et \(0\) sont entre 0 et 1 : ils conviennent.
• \(1{,}2\) est plus grand que 1 ; \(\dfrac{5}{4} = 1{,}25\) aussi : ils ne conviennent pas.
• \(-0{,}3\) est négatif : il ne convient pas.

7 Un dé à six faces ★★★

1. Une issue favorable sur 6 : \(\dfrac{1}{6}\).
2. Les 6 issues conviennent : \(\dfrac{6}{6} = 1\), l’événement est certain.
3. Aucune face ne porte 7 : \(\dfrac{0}{6} = 0\), l’événement est impossible.
4. Les issues favorables sont 5 et 6 : \(\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).

8 Le programme à condition ★★★

• \(n = 14\) : 14 > 10 est vrai, le programme dit \(14 - 10 = 4\).
• \(n = 10\) : 10 > 10 est faux, le programme dit \(10 + 10 = 20\).
• \(n = 3\) : 3 > 10 est faux, le programme dit \(3 + 10 = 13\).

9 Triangle et hexagone ★★★

1. Périmètre : \(3 \times 60 = 180\) pas.
2. Après 3 virages, le lutin a fait un tour complet de \(360\) degrés, et \(360 \div 3 = 120\). Tourner de 60 degrés ne suffirait pas à fermer la figure.
3. Un hexagone régulier a 6 côtés : on répète 6 fois et on tourne de \(360 \div 6 = 60\) degrés.

10 Distance parcourue ★★★

La boucle fait avancer de \(5 \times 12 = 60\) pas, puis 7 pas de plus : \(60 + 7 = 67\) pas au total.

Abscisse finale : \(-100 + 67 = -33\). Le lutin s’arrête à l’abscisse \(-33\).

11 Le sac de billes ★★★

Il y a 12 billes : 5 rouges, 4 bleues, 3 vertes.

• Rouge : \(\dfrac{5}{12}\).
• Bleue : \(\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\).
• Verte : \(\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}\).

Somme : \(\dfrac{5}{12} + \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{12}{12} = 1\) : on obtient bien une bille d’une de ces trois couleurs à coup sûr.

12 La roue de la kermesse ★★★

1. Nombres pairs : 2, 4, 6, 8, 10, soit 5 issues sur 10 : \(\dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\).
2. Multiples de 3 : 3, 6, 9, soit 3 issues : \(\dfrac{3}{10}\).
3. Aucun secteur ne dépasse 10 : \(\dfrac{0}{10} = 0\), événement impossible.
4. Tous les secteurs conviennent : \(\dfrac{10}{10} = 1\), événement certain.

13 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux : une pièce n’a pas de mémoire, la probabilité d’obtenir face reste une chance sur deux.
2. Faux : cela donne seulement une idée de ce qui arrive en moyenne sur un très grand nombre d’essais. Sur 4 essais, on peut très bien obtenir 3 fois l’événement.
3. Vrai : une probabilité nulle correspond à un événement qui ne se réalise jamais.

14 Un jeu de dé et un pion ★★★

• 3 est impair : \(0 - 5 = -5\).
• 6 est pair : \(-5 + 10 = 5\).
• 6 est pair : \(5 + 10 = 15\).
• 1 est impair : \(15 - 5 = 10\).
• 4 est pair : \(10 + 10 = 20\).

Le pion est sur la case 20. Il avance quand le résultat est pair : 3 issues favorables sur 6, soit une probabilité de \(\dfrac{1}{2}\).

15 Doubler et ajouter un ★★★

• Première répétition : \(3 \times 2 + 1 = 7\).
• Deuxième répétition : \(7 \times 2 + 1 = 15\).
• Troisième répétition : \(15 \times 2 + 1 = 31\).
• Quatrième répétition : \(31 \times 2 + 1 = 63\).

À la fin, \(n = 63\).

16 Pair ou impair ? ★★★

Pour \(n = 20\) :

• 20 est pair : \(20 \div 2 = 10\).
• 10 est pair : \(10 \div 2 = 5\).
• 5 est impair : \(5 + 1 = 6\).

Résultat : 6.

Pour \(n = 7\) :

• 7 est impair : \(7 + 1 = 8\).
• 8 est pair : \(8 \div 2 = 4\).
• 4 est pair : \(4 \div 2 = 2\).

Résultat : 2.

17 Le tirage au sort de la classe ★★★

Filles : \(\dfrac{11}{25} = \dfrac{44}{100} = 0{,}44 = 44\,\%\).

Garçons : \(25 - 11 = 14\), donc \(\dfrac{14}{25} = \dfrac{56}{100} = 0{,}56 = 56\,\%\).

On vérifie : \(44\,\% + 56\,\% = 100\,\%\).

Aucun professeur n’est dans la liste : l’événement est impossible, sa probabilité est 0.

18 Compléter le sac ★★★

Les jetons qui ne sont pas jaunes sont au nombre de \(8 + 7 = 15\) et n’ont pas changé. Pour avoir une chance sur deux, il faut autant de jaunes que de non-jaunes : 15 jaunes. Il y en a déjà 5, donc on ajoute \(15 - 5 = 10\) jetons jaunes.

Vérification : il y a alors 30 jetons dont 15 jaunes, et \(\dfrac{15}{30} = \dfrac{1}{2}\). Il faut ajouter 10 jetons jaunes.

19 Deux dés et leur somme ★★★

Le tableau compte \(6 \times 6 = 36\) issues équiprobables.

1. La somme 7 apparaît 6 fois (une par ligne) : \(\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\).
2. Sommes 10 (3 fois), 11 (2 fois), 12 (1 fois), soit 6 cases : \(\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\).
3. 13 n’apparaît jamais : probabilité 0, événement impossible.
4. Toutes les sommes sont entre 2 et 12 : \(\dfrac{36}{36} = 1\), événement certain.

20 Simuler 100 lancers ★★★

1. Fréquence : \(\dfrac{19}{100} = 0{,}19\).
2. Probabilité théorique : \(\dfrac{1}{6} \approx 0{,}17\).
3. Les deux nombres sont proches mais pas égaux : le hasard fait varier les résultats d’une série à l’autre. Avec un nombre de lancers bien plus grand, la fréquence se rapprocherait de \(\dfrac{1}{6}\). On s’attend à environ \(100 \div 6 \approx 17\) fois le 6.

21 La rosace ★★★

1. La boucle intérieure dessine un carré de côté 30 pas.
2. Chaque carré demande \(4 \times 30 = 120\) pas, et il y a 8 carrés : \(8 \times 120 = 960\) pas.
3. Les virages de 45 degrés font \(8 \times 45 = 360\) degrés, soit un tour complet : la figure se referme et on obtient une rosace de 8 carrés régulièrement tournés.