Symétrie centrale : exercices corrigés de maths 5ème à télécharger en PDF

1 Longueur d’un segment ★★★

\(O\) est le milieu de \([MM']\), donc \(OM' = OM = 5{,}3\) cm.

Puis \(MM' = OM + OM' = 5{,}3 + 5{,}3 = 10{,}6\) cm.

Réponse : \(OM' = 5{,}3\) cm et \(MM' = 10{,}6\) cm.

2 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : le milieu de \([OO]\) est \(O\).
2. Vrai : \(O\) est le milieu de \([AA']\), ce qui se lit de la même façon dans les deux sens.
3. Vrai : \(O\) est le milieu du segment \([AA']\), donc il est sur ce segment.
4. Faux : \(OA' = OA\) et c’est \(AA' = 2 \times OA\).
5. Faux : le symétrique d’un triangle par rapport à un point n’est jamais le triangle lui-même, donc aucun point n’est centre de symétrie.

3 Placer des symétriques sur un quadrillage ★★★

Pour \(A\) : de \(A\) à \(O\), on avance de \(3\) carreaux vers la droite et on descend de \(2\). On recommence depuis \(O\) : \(A' = (5+3 \,;\, 4-2) = (8 \,;\, 2)\).

Pour \(B\) : de \(B\) à \(O\) : \(+2\) à droite, \(+2\) en haut. Donc \(B' = (5+2 \,;\, 4+2) = (7 \,;\, 6)\).

Pour \(C\) : de \(C\) à \(O\) : \(-3\) (gauche), \(+1\) (haut). Donc \(C' = (5-3 \,;\, 4+1) = (2 \,;\, 5)\).

4 Lettres et centre de symétrie ★★★

Un demi-tour autour du milieu de la lettre la laisse inchangée pour H, N, X, Z, S et O : le centre est au milieu de la lettre.

Les lettres E, L, T et A n’ont pas de centre de symétrie : un demi-tour les mettrait à l’envers.

5 Triangle et son symétrique ★★★

La symétrie centrale conserve les longueurs et les angles.

\(A'B' = AB = 7\) cm ; \(B'C' = BC = 4{,}5\) cm ; \(\widehat{A'B'C'} = \widehat{ABC} = 63^\circ\).

6 Diagonales d’un rectangle ★★★

Un rectangle est un parallélogramme : ses diagonales se coupent en leur milieu \(O\), centre de symétrie.

Les diagonales d’un rectangle ont la même longueur : \(BD = AC = 13\) cm.

\(O\) milieu de \([BD]\) : \(OB = 13 \div 2 = 6{,}5\) cm.

7 Deux cercles symétriques ★★★

1. Le rayon de \(\mathcal{C}'\) est \(3{,}5\) cm. Son centre \(C'\) est le symétrique de \(C\) : \(O\) est le milieu de \([CC']\), donc \(CC' = 2 \times 4 = 8\) cm.
2. Deux cercles de rayon \(3{,}5\) cm n’ont des points communs que si la distance des centres est au plus \(2 \times 3{,}5 = 7\) cm. Or \(CC' = 8\) cm \(> 7\) cm : les deux cercles ne se coupent pas.

8 Un parallélogramme et son centre ★★★

1. \(O\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\) : \(AC = 2 \times 5{,}5 = 11\) cm et \(BD = 2 \times 3{,}5 = 7\) cm.
2. Le symétrique de \([AB]\) par rapport à \(O\) est \([CD]\), donc \(CD = AB = 6\) cm. De même \(AD = BC = 7\) cm.
   Périmètre : \(2 \times (6 + 7) = 26\) cm.

9 Coordonnées de symétriques ★★★

On repère le déplacement de chaque point vers \(O\) et on le répète de l’autre côté.

• \(A\) : \(+4\) et \(+2\), donc \(A' = (6+4 \,;\, 5+2) = (10 \,;\, 7)\).
• \(B\) : \(+2\) et \(-3\), donc \(B' = (6+2 \,;\, 5-3) = (8 \,;\, 2)\).
• \(C\) : \(-3\) et \(-2\), donc \(C' = (6-3 \,;\, 5-2) = (3 \,;\, 3)\).
• \(D\) : \(+5\) et \(-1\), donc \(D' = (6+5 \,;\, 5-1) = (11 \,;\, 4)\).

10 Vrai ou faux, avec justification ★★★

1. Vrai : la symétrie centrale conserve le parallélisme (ou la droite est confondue avec \(d\) si elle passe par \(O\)).
2. Faux : les angles sont conservés, un angle aigu reste aigu.
3. Vrai : les longueurs sont conservées.
4. Faux : les aires sont conservées.
5. Vrai : \(OM' = OM = r\), donc \(M'\) est à la distance \(r\) de \(O\).

11 Un point sur un segment ★★★

1. \(O\) est le milieu de \([AB]\) : le symétrique de \(A\) est \(B\), et celui de \(B\) est \(A\).
2. \(AO = 8 \div 2 = 4\) cm, donc \(OM = 4 - 3 = 1\) cm. Le point \(M'\) est de l’autre côté de \(O\), avec \(OM' = 1\) cm : \(M'\) est donc sur \([AB]\), à \(4 + 1 = 5\) cm de \(A\).
   \(AM' = 5\) cm et \(MM' = 2 \times OM = 2\) cm. On remarque que \(BM' = 3\) cm \(= AM\).

12 Périmètre et nature d’un quadrilatère ★★★

1. Le périmètre de \(ABC\) est \(5 + 6 + 7 = 18\) cm. La symétrie centrale conserve les longueurs : le périmètre de \(A'B'C'\) est aussi \(18\) cm.
2. \(O\) est le milieu de \([AA']\) et de \([BB']\) : les diagonales \([AA']\) et \([BB']\) du quadrilatère \(ABA'B'\) ont le même milieu. C’est donc un parallélogramme.

13 La grande roue ★★★

1. La cabine \(A\) est sur la roue, donc \(OA = 25\) m ; \(O\) est le milieu de \([AA']\) : \(AA' = 50\) m.
2. \(A\) est à \(28 + 15 = 43\) m. \(A'\) est à \(15\) m en dessous de \(O\), donc à \(28 - 15 = 13\) m du sol.
3. Au sommet, \(A\) est à \(28 + 25 = 53\) m ; \(A'\) est alors au point le plus bas, à \(28 - 25 = 3\) m du sol.

14 Angles d’un parallélogramme ★★★

1. Par la symétrie de centre \(O\), \(A \to C\) et \(B \to D\) : le symétrique de \([AB]\) est \([CD]\). Donc \(CD = AB = 4{,}8\) cm.
2. \(A \to C\), \(B \to D\), \(C \to A\) : l’angle \(\widehat{ABC}\) a pour symétrique \(\widehat{CDA}\). Les angles étant conservés, \(\widehat{CDA} = 110^\circ\).
3. \(\widehat{BAD} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\).

15 Un triangle et son demi-tour ★★★

1. \(I = \left(\dfrac{4+2}{2} \,;\, \dfrac{0+3}{2}\right) = (3 \,;\, 1{,}5)\).
2. \(I\) est le milieu de \([QR]\) : le symétrique de \(Q\) est \(R\) et celui de \(R\) est \(Q\). Pour \(P\) : \(P' = (2 \times 3 - 0 \,;\, 2 \times 1{,}5 - 0) = (6 \,;\, 3)\).
3. \(I\) est le milieu de \([QR]\) et de \([PP']\) : les diagonales de \(PQP'R\) ont le même milieu, c’est un parallélogramme.
   Aire de \(PQR\) : \(\dfrac{4 \times 3}{2} = 6\). La symétrie conserve les aires, donc l’aire de \(PQP'R\) est \(6 + 6 = 12\) unités d’aire.

16 Construire le symétrique d’un triangle ★★★

Triangle \(EFG\) : trace \([EF]\) de \(4\) cm, puis un arc de centre \(F\) et de rayon \(5\) cm, un arc de centre \(E\) et de rayon \(6\) cm : leur intersection est \(G\).

Symétriques : pour chaque sommet (par exemple \(E\)), trace la droite \((EO)\), puis, avec le compas pointe en \(O\) et écartement \(OE\), trace un arc qui coupe \((EO)\) de l’autre côté de \(O\) : tu obtiens \(E'\). Recommence pour \(F\) et \(G\).

Relie \(E'\), \(F'\) et \(G'\). Vérification : \(E'F' = 4\) cm, \(F'G' = 5\) cm, \(E'G' = 6\) cm, et les côtés \((E'F')\) et \((EF)\) sont parallèles. Le périmètre est \(15\) cm pour les deux triangles.

17 Une démonstration de parallélisme ★★★

Par définition, \(O\) est le milieu de \([AA']\) et de \([BB']\). Le quadrilatère \(ABA'B'\) a donc ses diagonales \([AA']\) et \([BB']\) qui se coupent en leur milieu \(O\) : c’est un parallélogramme.

Ses côtés opposés \([AB]\) et \([A'B']\) sont donc parallèles et de même longueur : \((AB) \parallel (A'B')\) et \(A'B' = AB\).

On retrouve les propriétés de la symétrie centrale : une droite et son image sont parallèles, et les longueurs sont conservées.

18 Deux cercles et un point de symétrie ★★★

1. \(O\) est le milieu de \([II']\) : \(II' = 2 \times 3 = 6\) cm. Le rayon de \(\mathcal{C}'\) est \(5\) cm.
2. Deux cercles de même rayon \(5\) cm dont les centres sont distants de \(6\) cm, avec \(0 < 6 < 10\), sont sécants en deux points.
3. \(M\) est sur \(\mathcal{C}\), donc \(M'\) est sur \(\mathcal{C}'\) (image de \(\mathcal{C}\)). \(M\) est sur \(\mathcal{C}'\), donc \(M'\) est sur le symétrique de \(\mathcal{C}'\), qui est \(\mathcal{C}\). Donc \(M'\) appartient aux deux cercles.
   Or \(O\) n’est pas sur \(\mathcal{C}\) (car \(OI = 3 \neq 5\)), donc \(M \neq O\) et \(M' \neq M\) : \(M'\) est l’autre point commun, et \(O\) est le milieu du segment joignant les deux points communs.

19 Le verger ★★★

1. Le puits est en \(O\), milieu de \([AC]\) : \(AO = 50 \div 2 = 25\) m.
2. \(M\) est à \(18\) m de \(A\), donc \(OM = 25 - 18 = 7\) m. \(M'\) est de l’autre côté de \(O\), avec \(OM' = 7\) m, donc \(AM' = 25 + 7 = 32\) m.
   \(MM' = 2 \times 7 = 14\) m (vérification : \(32 - 18 = 14\) m).

20 Le carrelage ★★★

1. Aire du triangle : \(\dfrac{20 \times 12}{2} = 120\) cm². La symétrie conserve les aires : la dalle a pour aire \(2 \times 120 = 240\) cm².
2. \(1\) m² \(= 10\,000\) cm², donc \(4{,}8\) m² \(= 48\,000\) cm². Nombre de dalles : \(48\,000 \div 240 = 200\).
   Réponse : il faut \(200\) dalles.